Noțiuni de bază de statistică
Statistica este știința care cercetează, prelucrează și evaluează date.
Populația statistică
Scopul statisticii este să efectueze un experiment prin care să afle ceva interesant despre o anumită populație. Prin populație statistică se înțelege, în general, orice mulțime de elemente pe care vrem să le studiem. Dacă vrem să aflăm care este vârsta medie a locuitorilor României, populația noastră va fi formată din toți locuitorii României.
Dacă însă vrem să aflăm consumul mediu de benzină al autoturismelor la o sută de kilometri, populația noastră va fi mulțimea tuturor autoturismelor (dintr-o anumită zonă).
Eșantionul
Deseori nu este posibil să lucrăm cu toate elementele populației. Să ne imaginăm că vrem să aflăm ce părere au oamenii din România despre ideea ca matematica să fie obligatorie la bacalaureat pentru toți elevii. Ca să aflăm cu adevărat ce cred oamenii, ar trebui să mergem din casă în casă, din bloc în bloc, și să întrebăm fiecare cetățean ce părere are. Așa ceva nu este posibil în practică. Iată câteva motive:
- Este prea scump. Să întrebi aproximativ nouăsprezece milioane de locuitori nu e ieftin. Organizarea unei consultări la nivelul întregii țări costă sute de milioane de lei.
- Durează prea mult. O astfel de acțiune se pregătește câteva luni – dacă ai nevoie de rezultatul unei statistici într-o săptămână, este mult prea lung.
- Nu toți vor să răspundă. Unii nu vor să răspundă la întrebările tale din principiu. Dacă populația noastră este formată din mașini, ele se pot, la rândul lor, defecta. Dacă ai urmări numărul de kilometri parcurși de mașini, se poate întâmpla ca un kilometraj să se strice sau ca cineva să-l dea înapoi intenționat.
- Experimentul poate fi prea periculos. Din întrebarea despre bacalaureat probabil că nimeni nu face infarct, dar putem lua alt exemplu – testarea unui medicament nou, „toatăvindec”. Ce s-ar întâmpla dacă am testa toatăvindecul pe toți locuitorii țării și s-ar dovedi că 20% dintre cei testați fac imediat o diaree îngrozitoare? Probabil că e mai bine să testăm medicamentul mai întâi pe un grup mai mic de oameni, nu?
Ca să evităm aceste dezavantaje, alegem din populația dată doar un eșantion. Dacă avem populația S, atunci eșantionul E este orice submulțime a lui S, adică E ⊆ S. Experimentul îl efectuăm apoi doar pe acest eșantion E, iar rezultatele le generalizăm la întreaga populație. Aceste rezultate vor fi, desigur, inexacte – cât de inexacte vor fi depinde în primul rând de cât de mare este eșantionul E și de metoda pe care am ales-o pentru a selecta elementele din E.
Greșelile tipice pot fi deci:
- Prea puține elemente în E. Dacă întrebi despre bacalaureat primele șapte persoane pe care le vezi, nu poți obține rezultate cu sens.
- Alegerea nereprezentativă a elementelor din populație. Dacă întrebi despre matematica la bacalaureat o mie de absolvenți ai Facultății de Matematică și Informatică, vei obține alte răspunsuri decât dacă ai întreba o mie de elevi de clasa a XI-a.
Variabilele
În timpul experimentului studiem elementele eșantionului. Datele pe care le urmărim se numesc variabile, iar valorile variabilelor se numesc variante. Există câteva tipuri de bază de variabile:
- Variabila calitativă: de obicei nu are sens să o măsurăm, este vorba despre o apreciere exprimată în cuvinte. Un exemplu tipic este întrebarea despre sportul preferat. Variantele unei astfel de variabile vor fi, de exemplu, „fotbal”, „handbal” etc. Nu are sens să măsurăm sau să comparăm fotbalul cu handbalul. Putem compara numărul de persoane care preferă fotbalul cu numărul celor care preferă handbalul, dar nu putem compara sporturile în sine.
În această categorie intră și întrebarea despre bacalaureat, la care se așteaptă răspunsurile „da, vreau matematică obligatorie la bacalaureat” sau „nu, nu vreau matematică obligatorie la bacalaureat”, care sunt variantele acestei variabile. Din nou, putem compara numărul răspunsurilor, dar nu are sens să comparăm „da” cu „nu”.
- Variabila cantitativă: pe aceasta o măsurăm. Este vorba despre lungimi, mase, timpi, numere (de obiecte) și altele asemănătoare. Variabilele cantitative se împart în continuare în variabile discrete și variabile continue:
Variabila discretă
O variabilă discretă are un număr finit de variante sau un număr numărabil de variante (vezi mai jos). Destul de des este vorba despre numere întregi. De exemplu, numărul de elevi dintr-o clasă – într-o clasă obișnuită vor fi, să zicem, între cincisprezece și patruzeci de copii.
Variabila discretă se caracterizează prin faptul că putem spune întotdeauna care sunt varianta următoare și cea precedentă. Dacă în clasa a VII-a B sunt 28 de copii, varianta precedentă este 27 de copii, iar cea următoare 29 de copii. La o variabilă calitativă, de obicei nu putem face asta – care este varianta care urmează după „fotbal”?
O variabilă discretă poate fi și infinită, dar trebuie să fie numărabilă – adică trebuie să putem determina în continuare varianta precedentă și pe cea următoare. De exemplu, am putea introduce variabila „distanța dintre două obiecte, cu precizie de un kilometru”. Dacă măsurăm că distanța dintre două obiecte, de exemplu o mașină și un hambar, este de 12 kilometri, atunci din nou varianta următoare și cea precedentă sunt 13, respectiv 11 kilometri. Distanța nu este însă, probabil, limitată în niciun fel. Dacă avem două obiecte aflate la 1.500.000 de kilometri unul de altul, cu siguranță găsim și obiecte aflate la 1.500.001 kilometri unul de altul.
Variabila ar rămâne discretă chiar dacă am schimba precizia la zecimi de kilometru (adică la sute de metri). Atunci am putea măsura distanța de 15,7 km, iar valorile următoare și precedente ar fi 15,8 și 15,6.
Dacă varianta precedentă sau cea următoare nu există, asta nu contrazice faptul că variabila este discretă. De exemplu, pentru distanța de zero kilometri nu există varianta precedentă – distanța minus un kilometru nu o definim. Totuși, distanța cu precizie de un kilometru este o variabilă discretă.
Variabila continuă
O variabilă continuă are întotdeauna un număr infinit de variante. Valorile sunt de obicei numere reale, deci este vorba, de exemplu, despre distanță (fără precizarea preciziei). La variabilele continue nu putem determina nici varianta precedentă, nici pe cea următoare. Dacă măsurăm că distanța dintre două lucruri este de 3,58745 metri, nu putem găsi numărul care urmează exact după acesta.
În mulțimea numerelor reale se află și numere iraționale cu dezvoltare zecimală infinită. Noi, desigur, nu avem aparate care să poată măsura o distanță cu o asemenea precizie, deci în realitate orice astfel de variabilă este tot discretă – tocmai pentru că orice aparat are o anumită precizie. Dacă măsori ceva cu rigla, ai precizie de un milimetru. Poți măsura astfel că o carte are lățimea de 167 mm sau de 168 mm, dar nimic între ele; desigur, dacă nu estimezi cumva.
Dacă ai un aparat mai științific, poți avea precizie de un micrometru. Nici asta însă nu va ajunge probabil pentru a măsura un obiect absolut exact.
Cu toate acestea, în mod obișnuit vorbim despre distanță sau despre masă ca despre variabile continue. În practică, o asemenea simplificare este necesară și de obicei nu deranjează cu nimic.
Variabila aleatoare
Variabila aleatoare este o variabilă discretă sau continuă pentru care nu putem determina valoarea rezultată înainte de efectuarea experimentului. O variabilă aleatoare poate fi astfel rezultatul aruncării unui zar cu șase fețe. Până nu aruncăm zarul, nu putem ști ce număr va ieși.
Putem fi în stare să prezicem că unele valori sunt mai probabile decât altele, asta nu ne deranjează; trebuie doar să nu fim absolut siguri că vom obține o anumită valoare. De exemplu, dacă am alege la întâmplare un locuitor al României și l-am întreba în ce oraș locuiește, este mai probabil că locuiește în București decât într-o comună mică de la țară. Pur și simplu, în București locuiesc mai mulți oameni.
Dacă am avea un zar care ar avea pe cinci fețe șase puncte, iar pe a șasea față rămasă două puncte, este mult mai probabil că la aruncare vom obține șase puncte. Totuși, este în continuare o variabilă aleatoare, pentru că nu este sigur că vor ieși șase puncte.
Dacă am modifica acest zar astfel încât pe toate cele șase fețe să fie șase puncte, aruncarea zarului nu ar mai fi o variabilă aleatoare, pentru că ne-ar ieși mereu șase puncte.
