Grundläggande begrepp i statistik
Statistik är en vetenskap som undersöker, bearbetar och utvärderar data.
Population
Målet med statistik är att genomföra ett experiment som ska ta reda på något intressant om en viss population. Med en population menar man i allmänhet vilken samling av element som helst som vi just vill undersöka. Om vi vill ta reda på medelåldern hos invånarna i Sverige, är vår population alla invånare i Sverige.
Om vi i stället vill ta reda på personbilars genomsnittliga bensinförbrukning per mil, är vår population mängden av alla personbilar (i ett visst område).
Urval
Ofta går det inte att arbeta med alla element i populationen. Tänk dig att vi vill ta reda på vad människor i Sverige tycker om ett obligatoriskt slutprov i matematik för att ta gymnasieexamen. För att verkligen få veta det skulle vi behöva gå från hus till hus, från bro till bro och fråga varje invånare vad hen tycker. Något sådant är inte möjligt i praktiken. Några skäl:
- Det är för dyrt. Att fråga alla ungefär tio och en halv miljoner invånare är inte billigt. Det första direkta presidentvalet i Tjeckien kostade till exempel 625 miljoner tjeckiska kronor.
- Det tar för lång tid. Valet förbereddes säkert under flera månader. Om du behöver resultatet av en statistisk undersökning på en vecka är det alldeles för lång tid.
- Alla vill inte svara. Någon vill av princip inte svara på dina frågor. Om vår population består av maskiner kan de i sin tur gå sönder. Om du följer hur många kilometer bilar har rullat kan det hända att vägmätaren går sönder eller att någon medvetet skruvar tillbaka den.
- Experimentet kan vara för farligt. Av en fråga om ett obligatoriskt slutprov får nog ingen hjärtinfarkt, men vi kan ta ett annat exempel: testning av en ny medicin, ”Alltbot”. Vad skulle hända om vi testade Alltbot på hela Sveriges befolkning och det under testet visade sig att 20 % av de testade omedelbart fick en förfärlig diarré? Det är nog bättre att vi först testar medicinen på en mindre grupp människor, eller hur?
För att undvika de här nackdelarna väljer vi ur populationen bara ett urval. Om vi har en population P, är ett urval V varje delmängd av P, alltså V ⊆ P. Vårt experiment genomför vi sedan bara på urvalet V och generaliserar resultaten till hela populationen. Resultaten blir förstås inte exakta. Hur inexakta de blir beror framför allt på hur stort urvalet V är och vilken metod vi har valt för att välja element till V.
Typiska fel kan alltså vara:
- För få element i V. Om du frågar de första sju personerna du ser om slutprovet kan du inte få meningsfulla resultat.
- Ett icke-representativt urval ur populationen. Om du frågar tusen personer som har tagit examen vid Kungliga tekniska högskolan om slutprovet i matematik får du andra svar än om du frågar tusen elever i åk 3 på gymnasiet.
Variabler
Under experimentet undersöker vi elementen i urvalet. De uppgifter som vi observerar kallar vi variabler, och värdena på variablerna kallar vi observationsvärden. Det finns några grundläggande typer av variabler:
- Kvalitativ variabel: en sådan variabel är det vanligtvis inte meningsfullt att mäta, utan det handlar om någon slags beskrivning i ord. Ett typiskt exempel är en fråga om nationalitet. Observationsvärden för en sådan variabel är till exempel ”svensk nationalitet”, ”norsk nationalitet” och så vidare. Det är inte meningsfullt att mäta eller jämföra svensk och norsk nationalitet. Vi kan jämföra antalet svenskar och norrmän, men nationaliteten i sig kan vi inte jämföra.
Hit hör också frågan om ett obligatoriskt slutprov, där vi väntar oss svaren ”ja, jag vill ha ett obligatoriskt slutprov i matematik” eller ”nej, jag vill inte ha ett obligatoriskt slutprov i matematik”, som är observationsvärden för variabeln. Återigen kan vi jämföra antalet svar, men det är inte meningsfullt att jämföra själva ”ja” och ”nej”.
- Kvantitativ variabel: en sådan variabel mäter vi. Det handlar alltså om längder, massor, tider, antal och liknande. Kvantitativa variabler delar vi vidare in i diskreta och kontinuerliga variabler:
Diskret variabel
En diskret variabel har ett ändligt antal observationsvärden eller ett uppräkneligt antal observationsvärden (se längre fram). Ganska ofta handlar det om heltal. Ta till exempel antalet elever i en klass: i en vanlig klass är det säg mellan femton och fyrtio barn.
En diskret variabel kännetecknas av att vi alltid kan säga vilka nästa och föregående observationsvärden är. Om det går 28 barn i klass 3B är det föregående värdet 27 barn och det nästa 29 barn. För en kvalitativ variabel kan vi oftast inte göra det: vad är nästa värde efter svensk nationalitet?
En diskret variabel kan också vara oändlig, men den måste vara uppräknelig, det vill säga vi måste fortfarande kunna avgöra det föregående och det nästa observationsvärdet. Vi skulle till exempel kunna införa variabeln ”avståndet mellan två objekt med en kilometers noggrannhet”. Om vi mäter att avståndet mellan två objekt, till exempel en bil och en lada, är 12 kilometer, gäller återigen att nästa och föregående observationsvärde är 13 respektive 11 kilometer. Avståndet är dessutom troligen inte begränsat uppåt. Om två objekt ligger 1 500 000 kilometer från varandra hittar vi säkert också objekt som ligger 1 500 001 kilometer från varandra.
Variabeln skulle förbli diskret även om vi ändrade noggrannheten till tiondels kilometer (alltså hundratals meter). Då skulle vi kunna mäta avståndet 15,7 km, och de nästa och föregående värdena skulle vara 15,8 och 15,6.
Om det föregående eller nästa observationsvärdet inte finns, motsäger det inte att variabeln är diskret. För avståndet noll kilometer finns till exempel inget föregående värde, eftersom vi inte definierar avståndet minus en kilometer. Ändå är avståndet med en kilometers noggrannhet en diskret variabel.
Kontinuerlig variabel
En kontinuerlig variabel har alltid ett oändligt antal observationsvärden. Värdena är typiskt reella tal, så det handlar till exempel om ett avstånd (utan tillägg om noggrannhet). För kontinuerliga variabler kan vi varken avgöra det föregående eller det nästa observationsvärdet. Om vi mäter att avståndet till något är 3,58745 meter kan vi inte hitta talet som kommer precis efter det här talet.
Bland de reella talen finns också irrationella tal med oändlig decimalutveckling. Vi har förstås inga instrument som kan mäta ett avstånd med sådan noggrannhet, så i verkligheten är varje sådan variabel ändå diskret, just för att varje instrument har en viss noggrannhet. Om du mäter något med en linjal har du en noggrannhet på en millimeter. Du kan då mäta att en bok är 167 mm eller 168 mm bred, men inget däremellan, såvida du inte uppskattar det på något sätt.
Om du har ett mer vetenskapligt instrument kan du ha en noggrannhet på en mikrometer. Inte ens det räcker dock troligen för att mäta ett objekt helt exakt.
Trots allt talar vi vanligtvis om avstånd eller massa som kontinuerliga variabler. I praktiken är en sådan förenkling nödvändig och brukar inte ställa till några problem.
Slumpvariabel
En slumpvariabel är en diskret eller kontinuerlig variabel vars slutliga värde vi inte kan bestämma innan experimentet har genomförts. En slumpvariabel kan alltså vara resultatet av ett kast med en sexsidig tärning. Så länge vi inte har kastat tärningen kan vi inte veta vilket tal som kommer upp.
Vi kan kanske förutsäga att vissa värden är mer sannolika än andra. Det gör inget, men vi får inte vara helt säkra på att få något visst värde. Om vi till exempel slumpmässigt drog en invånare i Sverige och frågade vilken stad hen bor i, är det mer sannolikt att hen bor i Stockholm än någonstans i Pajala. I Stockholm bor helt enkelt fler människor.
Om vi hade en tärning med sex prickar på fem sidor och två prickar på den sjätte sidan, är det mycket mer sannolikt att vi slår sex prickar. Det är ändå en slumpvariabel, eftersom det inte är säkert att sex prickar kommer upp.
Om vi ändrade tärningen så att alla sex sidor hade sex prickar, skulle ett tärningskast inte vara en slumpvariabel, eftersom det alltid skulle bli sex prickar.
