Tilastotieteen peruskäsitteet
Tilastotiede on tiede, joka tutkii, käsittelee ja arvioi aineistoja.
Perusjoukko
Tilastotieteessä tehdään koe tai tutkimus, jonka tarkoituksena on saada selville jotakin kiinnostavaa tietystä perusjoukosta. Perusjoukolla tarkoitetaan yleisesti mitä tahansa joukkoa alkioita, joita haluamme tutkia. Jos haluamme selvittää Suomen asukkaiden keski-iän, perusjoukkomme on kaikki Suomen asukkaat.
Jos taas haluamme selvittää henkilöautojen bensiinin keskikulutuksen sadalla kilometrillä, perusjoukkomme on kaikkien henkilöautojen joukko (tietyllä alueella).
Otos
Perusjoukon kaikkia alkioita ei useinkaan voi tutkia. Kuvitellaan, että haluamme tietää, mitä ihmiset Suomessa ajattelevat pakollisesta matematiikan kokeesta ylioppilastutkinnossa. Jotta saisimme varmasti selville, mitä ihmiset asiasta ajattelevat, meidän pitäisi kulkea talosta taloon ja kysyä jokaiselta asukkaalta hänen mielipidettään. Käytännössä se ei ole mahdollista. Syitä on useita:
- Se on liian kallista. Kysyminen noin viideltä ja puolelta miljoonalta asukkaalta ei ole halpaa. Esimerkiksi valtakunnalliset vaalit maksavat miljoonia euroja.
- Se kestää liian kauan. Vaaleja valmistellaan varmasti kuukausia. Jos tarvitset tilaston tuloksen viikossa, se on liian pitkä aika.
- Kaikki eivät halua vastata. Joku ei periaatteesta halua vastata kysymyksiisi. Jos perusjoukkona on koneita, ne voivat taas hajota. Jos seuraisit autojen ajamia kilometrejä, matkamittari voi rikkoutua tai joku voi kelata sitä tahallaan taaksepäin.
- Koe voi olla liian vaarallinen. Kysymyksestä pakollisesta matematiikan kokeesta tuskin kukaan saa sydänkohtausta, mutta voimme ottaa toisen esimerkin: uuden lääkkeen ”kaikkiparantaja” testaamisen. Mitä tapahtuisi, jos testaisimme kaikkiparantajaa koko Suomen väestöllä ja testin aikana selviäisi, että 20 %:lla testattavista tulee heti hirvittävä vatsatauti? Lääke kannattaa varmaan ensin testata pienemmällä ihmisjoukolla, eikö niin?
Näiden haittojen välttämiseksi valitsemme perusjoukosta vain jonkin osan, jota kutsutaan otokseksi. Jos perusjoukko on P, otos V on mikä tahansa joukon P osajoukko eli V ⊆ P. Teemme kokeen vain tälle otokselle V ja yleistämme tulokset koko perusjoukkoon. Tulokset ovat tietysti epätarkkoja. Kuinka epätarkkoja, riippuu ennen kaikkea siitä, kuinka suuri otos V on ja millä menetelmällä alkiot on valittu joukkoon V.
Tyypillisiä virheitä ovat esimerkiksi:
- Joukossa V on liian vähän alkioita. Jos kysyt pakollisesta matematiikan kokeesta ensimmäisiltä seitsemältä vastaantulijalta, et voi saada mielekkäitä tuloksia.
- Otos ei edusta perusjoukkoa. Jos kysyt pakollisesta matematiikan kokeesta tuhannelta matematiikan opiskelijalta, saat toisenlaisia vastauksia kuin jos kysyisit tuhannelta lukion kolmannen vuoden opiskelijalta.
Muuttujat
Kokeen aikana tutkimme otoksen alkioita. Tietoja, joita seuraamme, kutsutaan muuttujiksi, ja muuttujien arvoja kutsutaan havaintoarvoiksi. Muuttujia on kahta perustyyppiä:
- Laadullinen muuttuja: tätä muuttujaa ei yleensä ole mielekästä mitata, vaan se on jonkinlainen sanallinen kuvaus. Tyypillinen esimerkki on kysymys kansalaisuudesta. Tällaisen muuttujan havaintoarvoja ovat esimerkiksi ”suomalainen” ja ”ruotsalainen”. Suomalaisen ja ruotsalaisen kansalaisuuden mittaamisella tai vertaamisella ei ole mitään järkeä. Voimme verrata suomalaisten ja ruotsalaisten lukumääriä, mutta itse kansalaisuuksia emme voi verrata.
Tähän luokkaan kuuluu myös kysymys pakollisesta matematiikan kokeesta, johon odotetaan vastauksia ”kyllä, haluan pakollisen matematiikan kokeen” tai ”ei, en halua pakollista matematiikan koetta”. Ne ovat tämän muuttujan havaintoarvoja. Voimme taas verrata vastausten lukumääriä, mutta itse ”kyllä”- ja ”ei”-vastausten vertaaminen ei ole mielekästä.
- Määrällinen muuttuja: tämän muuttujan voimme mitata. Se voi olla pituus, massa, aika, lukumäärä ja niin edelleen. Määrälliset muuttujat jaetaan vielä diskreetteihin ja jatkuviin muuttujiin:
Diskreetti muuttuja
Diskreetillä muuttujalla on äärellinen määrä havaintoarvoja tai numeroituva määrä havaintoarvoja (ks. jäljempänä). Melko usein kyse on kokonaisluvuista. Esimerkiksi oppilaiden lukumäärä luokassa: tavallisessa luokassa on sanotaan vaikka viidestätoista neljääkymmentä lasta.
Diskreetille muuttujalle on aina mahdollista sanoa, mitkä ovat seuraava ja edellinen havaintoarvo. Jos luokalla 8B on 28 oppilasta, edellinen havaintoarvo on 27 oppilasta ja seuraava 29 oppilasta. Laadullisen muuttujan kohdalla se ei yleensä onnistu. Mikä on suomalaisen kansalaisuuden jälkeen seuraava havaintoarvo?
Diskreetti muuttuja voi olla myös ääretön, mutta sen on oltava numeroituva eli meidän on yhä pystyttävä määrittämään edellinen ja seuraava havaintoarvo. Voisimme esimerkiksi ottaa käyttöön muuttujan ”kahden kohteen välinen etäisyys yhden kilometrin tarkkuudella”. Jos mittaamme, että kahden kohteen, vaikkapa auton ja heinäladon, välinen etäisyys on 12 kilometriä, niin seuraava ja edellinen havaintoarvo ovat jälleen 13 ja 11 kilometriä. Etäisyyttä ei kuitenkaan todennäköisesti ole rajoitettu mitenkään. Jos kaksi kohdetta on 1 500 000 kilometrin päässä toisistaan, löytyy varmasti myös kohteita, jotka ovat 1 500 001 kilometrin päässä toisistaan.
Muuttuja pysyisi diskreettinä, vaikka muuttaisimme tarkkuuden kilometrin kymmenesosiin (eli satoihin metreihin). Silloin voisimme mitata etäisyydeksi 15,7 km, ja seuraava ja edellinen arvo olisivat 15,8 ja 15,6.
Jos edellistä tai seuraavaa havaintoarvoa ei ole, se ei ole ristiriidassa sen kanssa, että muuttuja on diskreetti. Esimerkiksi nollan kilometrin etäisyydellä ei ole edellistä havaintoarvoa, koska miinus yhden kilometrin etäisyyttä emme määrittele. Silti yhden kilometrin tarkkuudella mitattu etäisyys on diskreetti muuttuja.
Jatkuva muuttuja
Jatkuvalla muuttujalla on aina äärettömän monta havaintoarvoa. Arvoina ovat tyypillisesti reaaliluvut, joten kyse on esimerkiksi etäisyydestä (ilman tarkkuutta koskevaa lisämääritystä). Jatkuvan muuttujan kohdalla emme pysty määrittämään edellistä emmekä seuraavaa havaintoarvoa. Jos mittaamme jonkin etäisyydeksi 3,58745 metriä, emme löydä lukua, joka on aivan tämän luvun perässä.
Reaalilukujen joukossa on myös irrationaalilukuja, joilla on päättymätön desimaalikehitelmä. Meillä ei tietenkään ole mittalaitteita, jotka pystyisivät mittaamaan etäisyyden niin tarkasti, joten todellisuudessa jokainen tällainen muuttuja on kuitenkin diskreetti, juuri siksi, että jokaisella mittalaitteella on jokin tarkkuus. Jos mittaat jotakin viivaimella, tarkkuutesi on yksi millimetri. Voit siis mitata, että kirjan leveys on 167 mm tai 168 mm, mutta et mitään siltä väliltä. Voit tietysti arvioida väliarvon silmämääräisesti.
Jos käytössäsi on tieteellisempi mittalaite, tarkkuus voi olla yksi mikrometri. Esineen täysin tarkkaan mittaamiseen sekään tuskin kuitenkaan riittää.
Silti puhumme tavallisesti etäisyydestä tai massasta jatkuvina muuttujina. Käytännössä tällainen yksinkertaistus on tarpeen, eikä siitä yleensä ole haittaa.
Satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja on diskreetti tai jatkuva muuttuja, jonka arvoa emme pysty määrittämään ennen kokeen tekemistä. Satunnaismuuttuja voi siis olla esimerkiksi kuusisivuisen nopan heiton tulos. Ennen kuin heitämme noppaa, emme voi tietää, mikä luku siihen tulee.
Voimme osata ennustaa, että jotkin arvot ovat todennäköisempiä kuin toiset. Se ei haittaa, kunhan emme ole täysin varmoja, että saamme jonkin tietyn arvon. Jos esimerkiksi arvomme satunnaisesti yhden suomalaisen ja kysymme häneltä, missä kaupungissa hän asuu, on todennäköisempää, että hän asuu Helsingissä kuin jossain pienessä kunnassa kuten Kyyjärvellä. Helsingissä nyt vain asuu enemmän ihmisiä.
Jos meillä olisi noppa, jonka viidellä sivulla on kuusi silmälukua ja jäljelle jäävällä kuudennella sivulla kaksi silmälukua, olisi paljon todennäköisempää, että heitossa tulee kuusi silmälukua. Se on silti satunnaismuuttuja, koska ei ole varmaa, että tulee kuusi silmälukua.
Jos muokkaisimme tätä noppaa niin, että kaikilla kuudella tahkolla olisi kuusi silmälukua, nopanheitto ei olisi satunnaismuuttuja, koska heitossa tulisi aina kuusi silmälukua.
