Βασικές έννοιες της στατιστικής
Η στατιστική είναι η επιστήμη που μελετά, επεξεργάζεται και αξιολογεί δεδομένα.
Πληθυσμός
Στόχος της στατιστικής είναι να πραγματοποιήσουμε ένα πείραμα, με το οποίο θέλουμε να μάθουμε κάτι ενδιαφέρον για έναν συγκεκριμένο πληθυσμό. Με τον όρο πληθυσμός εννοούμε γενικά οποιοδήποτε σύνολο στοιχείων που θέλουμε να μελετήσουμε. Αν θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η μέση ηλικία των κατοίκων της Ελλάδας, ο πληθυσμός μας θα είναι όλοι οι κάτοικοι της Ελλάδας.
Αν όμως θέλουμε να μάθουμε τη μέση κατανάλωση βενζίνης των επιβατικών αυτοκινήτων ανά εκατό χιλιόμετρα, ο πληθυσμός μας θα είναι το σύνολο όλων των επιβατικών αυτοκινήτων (στη συγκεκριμένη περιοχή).
Δείγμα
Συχνά δεν είναι δυνατό να δουλέψουμε με όλα τα στοιχεία του πληθυσμού. Ας φανταστούμε ότι θέλουμε να μάθουμε τι πιστεύουν οι άνθρωποι στην Ελλάδα για τις υποχρεωτικές εξετάσεις Μαθηματικών στο τέλος του Λυκείου. Για να μάθουμε πραγματικά τι πιστεύουν, θα έπρεπε να πηγαίνουμε από σπίτι σε σπίτι, από γέφυρα σε γέφυρα και να ρωτάμε κάθε πολίτη τι γνώμη έχει. Κάτι τέτοιο στην πράξη δεν είναι εφικτό. Μερικοί λόγοι:
- Είναι υπερβολικά ακριβό. Το να ρωτήσουμε περίπου δέκα και μισό εκατομμύρια κατοίκους δεν είναι φθηνή υπόθεση. Για παράδειγμα, η πρώτη άμεση προεδρική εκλογή στην Τσεχία κόστισε 625 εκατομμύρια κορώνες (περίπου 25 εκατομμύρια €).
- Διαρκεί υπερβολικά πολύ. Οι εκλογές σίγουρα προετοιμάζονταν για αρκετούς μήνες – αν χρειάζεσαι το αποτέλεσμα της στατιστικής σε μία εβδομάδα, αυτός ο χρόνος είναι πολύ μεγάλος.
- Δεν θα θελήσουν όλοι να απαντήσουν. Κάποιος από θέση αρχής δεν θα θέλει να απαντήσει στις ερωτήσεις σου. Αν ο πληθυσμός μας αποτελείται από μηχανές, πάλι μπορεί να χαλάσουν. Αν παρακολουθούσες τα χιλιόμετρα που έχουν διανύσει τα αυτοκίνητα, μπορεί να χαλάσει το κοντέρ ή κάποιος να το γυρίσει επίτηδες πίσω.
- Το πείραμα μπορεί να είναι υπερβολικά επικίνδυνο. Από μια ερώτηση για τις υποχρεωτικές εξετάσεις Μαθηματικών μάλλον κανείς δεν θα πάθει έμφραγμα, μπορούμε όμως να πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα – τη δοκιμή ενός νέου φαρμάκου «πανάκεια». Τι θα συνέβαινε αν δοκιμάζαμε την πανάκεια σε ολόκληρο τον πληθυσμό της Ελλάδας και κατά τη διάρκεια της δοκιμής διαπιστωνόταν ότι το 20% των ανθρώπων αποκτά αμέσως φοβερή διάρροια; Μάλλον είναι καλύτερα να δοκιμάσουμε πρώτα το φάρμακο σε μια μικρότερη ομάδα ανθρώπων, έτσι δεν είναι;
Για να αποφύγουμε αυτά τα μειονεκτήματα, επιλέγουμε από τον πληθυσμό μόνο ένα δείγμα. Αν έχουμε πληθυσμό P, τότε δείγμα V είναι κάθε υποσύνολο του P, δηλαδή V ⊆ P. Το πείραμά μας το πραγματοποιούμε στη συνέχεια μόνο σε αυτό το δείγμα V και τα αποτελέσματα τα γενικεύουμε για ολόκληρο τον πληθυσμό. Τα αποτελέσματα αυτά φυσικά θα είναι ανακριβή – πόσο ανακριβή θα είναι, εξαρτάται κυρίως από το πόσο μεγάλο είναι το δείγμα V και από τη μέθοδο που επιλέξαμε για να διαλέξουμε τα στοιχεία του V.
Τυπικά λάθη μπορεί λοιπόν να είναι:
- Πολύ μικρό πλήθος στοιχείων στο V. Αν ρωτήσεις για τις υποχρεωτικές εξετάσεις Μαθηματικών τους πρώτους εφτά ανθρώπους που θα δεις, δεν μπορείς να πάρεις ουσιαστικά αποτελέσματα.
- Μη αντιπροσωπευτική επιλογή στοιχείων από τον πληθυσμό. Αν ρωτήσεις για τις υποχρεωτικές εξετάσεις Μαθηματικών χίλιους αποφοίτους του Τμήματος Μαθηματικών, θα πάρεις διαφορετικές απαντήσεις από ό,τι αν ρωτούσες χίλιους μαθητές της Γ΄ Λυκείου.
Μεταβλητές
Κατά τη διάρκεια του πειράματος μελετάμε τα στοιχεία του δείγματος. Τα δεδομένα που παρακολουθούμε τα ονομάζουμε μεταβλητές και τις τιμές των μεταβλητών τις ονομάζουμε τιμές της μεταβλητής. Υπάρχουν βασικοί τύποι μεταβλητών:
- Ποιοτική μεταβλητή: αυτή τη μεταβλητή συνήθως δεν έχει νόημα να τη μετρήσουμε, πρόκειται για κάποια λεκτική αξιολόγηση. Τυπικό παράδειγμα είναι η ερώτηση για την εθνικότητα. Τιμές μιας τέτοιας μεταβλητής θα είναι π.χ. «ελληνική εθνικότητα», «ιταλική εθνικότητα» κ.λπ. Δεν έχει νόημα να μετρήσουμε ή να συγκρίνουμε την ελληνική και την ιταλική εθνικότητα. Μπορούμε να συγκρίνουμε τον αριθμό των Ελλήνων και των Ιταλών, αλλά την ίδια την εθνικότητα δεν μπορούμε να τη συγκρίνουμε.
Σε αυτή την κατηγορία ανήκει και η ερώτηση για τις υποχρεωτικές εξετάσεις, όπου περιμένουμε απαντήσεις «ναι, θέλω υποχρεωτικές εξετάσεις Μαθηματικών» ή «όχι, δεν θέλω υποχρεωτικές εξετάσεις Μαθηματικών», που είναι οι τιμές αυτής της μεταβλητής. Και πάλι μπορούμε να συγκρίνουμε τον αριθμό των απαντήσεων, αλλά δεν έχει νόημα να συγκρίνουμε τα ίδια τα «ναι» και «όχι».
- Ποσοτική μεταβλητή: αυτή τη μεταβλητή τη μετράμε. Πρόκειται λοιπόν για μήκη, βάρη, χρόνους, πλήθη και τα παρόμοια. Τις ποσοτικές μεταβλητές τις χωρίζουμε περαιτέρω σε διακριτές και συνεχείς:
Διακριτή μεταβλητή
Η διακριτή μεταβλητή έχει πεπερασμένο πλήθος τιμών ή αριθμήσιμο πλήθος τιμών (βλ. παρακάτω). Αρκετά συχνά πρόκειται για ακέραιους αριθμούς. Για παράδειγμα, το πλήθος των μαθητών σε μια τάξη – σε μια συνηθισμένη τάξη θα έχει, ας πούμε, ανάμεσα σε δεκαπέντε και σαράντα παιδιά.
Η διακριτή μεταβλητή χαρακτηρίζεται από το ότι μπορούμε πάντα να πούμε ποια είναι η επόμενη και η προηγούμενη τιμή. Αν στην τάξη Γ2 υπάρχουν 28 παιδιά, τότε η προηγούμενη τιμή είναι 27 παιδιά και η επόμενη 29 παιδιά. Στην ποιοτική μεταβλητή συνήθως δεν μπορούμε να το κάνουμε – ποια είναι η επόμενη τιμή μετά την ελληνική εθνικότητα;
Η διακριτή μεταβλητή μπορεί να είναι και άπειρη, πρέπει όμως να είναι αριθμήσιμη – δηλαδή πρέπει και πάλι να μπορούμε να προσδιορίσουμε την προηγούμενη και την επόμενη τιμή. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να ορίσουμε τη μεταβλητή «απόσταση δύο αντικειμένων με ακρίβεια ενός χιλιομέτρου». Αν μετρήσουμε ότι η απόσταση δύο αντικειμένων, για παράδειγμα ενός αυτοκινήτου και ενός αχυρώνα, είναι 12 χιλιόμετρα, τότε πάλι ισχύει ότι η επόμενη και η προηγούμενη τιμή είναι 13 και 11 χιλιόμετρα αντίστοιχα. Η απόσταση μάλιστα μάλλον δεν είναι φραγμένη. Αν έχουμε δύο αντικείμενα σε απόσταση 1.500.000 χιλιομέτρων μεταξύ τους, σίγουρα θα βρούμε και αντικείμενα σε απόσταση 1.500.001 χιλιομέτρων.
Η μεταβλητή θα παρέμενε διακριτή και αν αλλάζαμε την ακρίβεια σε δέκατα του χιλιομέτρου (δηλαδή σε εκατοντάδες μέτρων). Τότε θα μπορούσαμε να μετρήσουμε απόσταση 15,7 km και η επόμενη και η προηγούμενη τιμή θα ήταν 15,8 και 15,6.
Αν δεν υπάρχει προηγούμενη ή επόμενη τιμή, αυτό δεν αντίκειται στο ότι η μεταβλητή είναι διακριτή. Για παράδειγμα, για απόσταση μηδέν χιλιομέτρων δεν υπάρχει προηγούμενη τιμή – απόσταση μείον ένα χιλιόμετρο δεν ορίζουμε. Παρ' όλα αυτά η απόσταση με ακρίβεια ενός χιλιομέτρου είναι διακριτή μεταβλητή.
Συνεχής μεταβλητή
Η συνεχής μεταβλητή έχει πάντα άπειρο πλήθος τιμών. Τιμές της είναι συνήθως πραγματικοί αριθμοί, οπότε πρόκειται για παράδειγμα για την απόσταση (χωρίς επιπλέον προσδιορισμό ακρίβειας). Στις συνεχείς μεταβλητές δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ούτε την προηγούμενη ούτε την επόμενη τιμή. Αν μετρήσουμε ότι η απόσταση κάποιου πράγματος είναι 3,58745 μέτρα, δεν μπορούμε να βρούμε τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς μετά από αυτόν.
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών υπάρχουν και άρρητοι αριθμοί με άπειρη δεκαδική παράσταση. Εμείς φυσικά δεν έχουμε όργανα που θα μπορούσαν να μετρήσουν απόσταση με τέτοια ακρίβεια, οπότε στην πραγματικότητα κάθε τέτοια μεταβλητή είναι το ίδιο διακριτή – ακριβώς επειδή κάθε όργανο έχει κάποια ακρίβεια. Αν μετράς κάτι με χάρακα, έχεις ακρίβεια ενός χιλιοστού. Μπορείς έτσι να μετρήσεις ότι ένα βιβλίο έχει πλάτος 167 mm ή 168 mm, αλλά τίποτα ενδιάμεσο· φυσικά, αν δεν το εκτιμήσεις κάπως κ.λπ.
Αν έχεις κάποιο πιο επιστημονικό όργανο, μπορεί να έχεις ακρίβεια ενός μικρομέτρου. Για να μετρηθεί όμως ένα αντικείμενο απόλυτα ακριβώς, ούτε αυτό μάλλον δεν θα αρκεί.
Παρ' όλα αυτά συνήθως μιλάμε για την απόσταση ή για το βάρος ως συνεχείς μεταβλητές. Στην πράξη μια τέτοια απλοποίηση είναι αναγκαία και συνήθως δεν πειράζει σε τίποτα.
Τυχαία μεταβλητή
Τυχαία μεταβλητή είναι μια διακριτή ή συνεχής μεταβλητή, για την οποία δεν μπορούμε πριν από την εκτέλεση του πειράματος να προσδιορίσουμε την τελική τιμή. Τυχαία μεταβλητή μπορεί λοιπόν να είναι το αποτέλεσμα της ρίψης ενός εξάπλευρου ζαριού. Όσο δεν έχουμε ρίξει το ζάρι, δεν μπορούμε να ξέρουμε ποιον αριθμό θα φέρουμε.
Μπορεί να είμαστε σε θέση να προβλέψουμε ότι κάποιες τιμές είναι πιθανότερες από άλλες, αυτό δεν μας πειράζει, απλώς δεν πρέπει να είμαστε απολύτως βέβαιοι ότι θα πάρουμε κάποια συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα, αν επιλέγαμε τυχαία έναν κάτοικο της Ελλάδας και τον ρωτούσαμε σε ποια πόλη ζει, είναι πιθανότερο να ζει στην Αθήνα παρά σε κάποιο μικρό χωριό της Ευρυτανίας. Στην Αθήνα απλώς ζουν περισσότεροι άνθρωποι.
Αν είχαμε ένα ζάρι που σε πέντε έδρες έχει έξι βούλες και στην έκτη έδρα που απομένει δύο βούλες, είναι πολύ πιθανότερο να φέρουμε έξι βούλες. Παραμένει όμως τυχαία μεταβλητή, επειδή δεν είναι βέβαιο ότι θα φέρουμε έξι βούλες.
Αν τροποποιούσαμε αυτό το ζάρι ώστε και στις έξι έδρες να έχει έξι βούλες, η ρίψη του ζαριού δεν θα ήταν τυχαία μεταβλητή, επειδή θα φέρναμε πάντα έξι βούλες.
