Conceptos básicos de estadística
La estadística es la ciencia que estudia, procesa y evalúa datos.
Población
El objetivo de la estadística es realizar un experimento cuya finalidad es averiguar algo interesante sobre una determinada población. Por población se entiende, en general, cualquier conjunto de elementos que queramos estudiar en un momento dado. Si queremos averiguar cuál es la edad media de los habitantes de España, nuestra población serán todos los habitantes de España.
Pero si queremos averiguar el consumo medio de gasolina de los turismos por cada cien kilómetros, nuestra población será el conjunto de todos los turismos (en un territorio dado).
Muestra
A menudo no es posible trabajar con todos los elementos de la población. Imaginemos que queremos averiguar qué piensa la gente en España de que las matemáticas sean obligatorias en la PAU. Para saber de verdad qué piensa la gente, tendríamos que ir casa por casa, pueblo por pueblo, preguntando a cada ciudadano qué opina. Algo así no es posible en la práctica. Algunos motivos:
- Es demasiado caro. Preguntar a unos cuarenta y ocho millones de habitantes no es barato. Por ejemplo, un censo de toda la población cuesta decenas de millones de euros.
- Lleva demasiado tiempo. Una encuesta a toda la población se prepararía sin duda durante varios meses; si necesitas el resultado de la estadística en una semana, es demasiado tiempo.
- No todos querrán responder. Hay quien, por principio, no querrá contestar a tus preguntas. Si nuestra población son máquinas, estas pueden averiarse. Si observaras los kilómetros recorridos por unos coches, puede ocurrir que el cuentakilómetros se estropee o que alguien lo manipule a propósito.
- El experimento puede ser demasiado peligroso. Es improbable que a alguien le dé un infarto por una pregunta sobre la PAU, pero podemos tomar otro ejemplo: probar un nuevo medicamento, el «curalotodo». ¿Qué pasaría si probáramos el curalotodo en toda la población de España y durante la prueba se descubriera que el 20 % de las personas tratadas sufre de inmediato una diarrea tremenda? Seguramente será mejor probar antes el medicamento en un grupo más pequeño de personas, ¿no?
Para evitar estos inconvenientes, elegimos de la población dada solo una muestra. Si tenemos una población P, la muestra V es cualquier subconjunto de P, es decir, V ⊆ P. Realizamos nuestro experimento únicamente con esta muestra V y generalizamos los resultados a toda la población. Estos resultados, por supuesto, serán inexactos; cuánto lo serán depende sobre todo de lo grande que sea la muestra V y del método que hayamos elegido para seleccionar los elementos de V.
Estos son errores típicos:
- Un número demasiado pequeño de elementos en V. Si preguntas sobre la PAU a las primeras siete personas que veas, no puedes obtener resultados con sentido.
- Una muestra no representativa de la población. Si preguntas sobre las matemáticas en la PAU a mil licenciados de la Facultad de Matemáticas, obtendrás respuestas distintas de las que obtendrías si preguntaras a mil estudiantes de 2.º de Bachillerato.
Variables
Durante el experimento estudiamos los elementos de la muestra. Los datos que observamos se llaman variables y los valores de las variables se llaman modalidades. Hay varios tipos básicos de variables:
- Variable cualitativa: normalmente no tiene sentido medir esta variable; se trata de una valoración expresada con palabras. Un ejemplo típico es la pregunta por la nacionalidad. Las modalidades de una variable así serán, por ejemplo, «nacionalidad española», «nacionalidad portuguesa», etc. No tiene sentido medir ni comparar la nacionalidad española con la portuguesa. Podemos comparar el número de españoles y de portugueses, pero la nacionalidad en sí no podemos compararla.
A esta categoría pertenece también la pregunta sobre la PAU, donde se esperan respuestas como «sí, quiero que las matemáticas sean obligatorias en la PAU» o «no, no quiero que las matemáticas sean obligatorias en la PAU», que son las modalidades de esta variable. De nuevo podemos comparar el número de respuestas, pero no tiene sentido comparar los propios «sí» y «no».
- Variable cuantitativa: esta variable se mide. Se trata de longitudes, masas, tiempos, cantidades y similares. Las variables cuantitativas se dividen a su vez en variables discretas y continuas:
Variable discreta
Una variable discreta tiene un número finito de modalidades o un número numerable de modalidades (ver más adelante). Con bastante frecuencia se trata de números enteros. Por ejemplo, el número de alumnos de una clase: en una clase normal habrá, digamos, entre quince y cuarenta niños.
Una variable discreta se caracteriza porque siempre somos capaces de decir cuáles son la modalidad siguiente y la anterior. Si en la clase de 3.º B hay 28 niños, la modalidad anterior es 27 niños y la siguiente 29 niños. En una variable cualitativa normalmente no podemos hacerlo: ¿cuál es la modalidad que sigue a la nacionalidad española?
Una variable discreta también puede ser infinita, pero debe ser numerable; es decir, todavía debemos poder determinar la modalidad anterior y la siguiente. Por ejemplo, podríamos introducir la variable «distancia entre dos objetos con precisión de un kilómetro». Si medimos que la distancia entre dos objetos, por ejemplo un coche y un granero, es de 12 kilómetros, de nuevo la modalidad siguiente y la anterior son 13 y 11 kilómetros, respectivamente. Además, la distancia probablemente no tiene ningún límite. Si tenemos dos objetos separados 1.500.000 kilómetros, seguro que encontraremos también objetos separados 1.500.001 kilómetros.
La variable seguiría siendo discreta aunque cambiáramos la precisión a décimas de kilómetro (es decir, a centenas de metros). Entonces podríamos medir una distancia de 15,7 km, y los valores siguiente y anterior serían 15,8 y 15,6.
Que no exista la modalidad anterior o la siguiente no contradice que la variable sea discreta. Por ejemplo, para la distancia de cero kilómetros no existe una modalidad anterior: la distancia de menos un kilómetro no se define. Aun así, la distancia con precisión de un kilómetro es una variable discreta.
Variable continua
Una variable continua siempre tiene un número infinito de modalidades. Los valores son típicamente números reales, así que se trata, por ejemplo, de la distancia (sin especificar la precisión). En las variables continuas no podemos determinar la modalidad anterior ni la siguiente. Si medimos que la distancia de algo es de 3,58745 metros, no podemos encontrar el número que viene exactamente después de este.
En el conjunto de los números reales hay también números irracionales con desarrollo decimal infinito. Por supuesto, no tenemos instrumentos capaces de medir una distancia con tal precisión, así que en la realidad toda variable así es igualmente discreta, precisamente porque todo instrumento tiene una precisión determinada. Si mides algo con una regla, tienes precisión de un milímetro. Así puedes medir que un libro tiene una anchura de 167 mm o de 168 mm, pero nada intermedio; claro, a no ser que lo estimes de algún modo, etc.
Si tienes un instrumento más científico, puedes tener precisión de un micrómetro. Pero ni siquiera así bastará, probablemente, para medir un objeto con exactitud absoluta.
A pesar de todo, normalmente hablamos de la distancia o de la masa como de variables continuas. En la práctica una simplificación así es necesaria y normalmente no causa ningún problema.
Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una variable discreta o continua cuyo valor final no podemos determinar antes de realizar el experimento. Una variable aleatoria puede ser, pues, el resultado de lanzar un dado de seis caras. Mientras no lancemos el dado, no podemos saber qué número saldrá.
Podemos ser capaces de predecir que algunos valores serán más probables que otros; eso no importa, solo que no podemos estar totalmente seguros de que obtendremos un valor concreto. Por ejemplo, si eligiéramos al azar a un habitante de España y le preguntáramos en qué ciudad vive, es más probable que viva en Madrid que en un pueblo pequeño como Albarracín. En Madrid, sencillamente, vive más gente.
Si tuviéramos un dado que tuviera en cinco caras seis puntos y en la sexta cara restante dos puntos, es mucho más probable que al lanzarlo salgan seis puntos. Pero sigue siendo una variable aleatoria, porque no es seguro que salgan seis puntos.
Si modificáramos este dado de modo que en las seis caras hubiera seis puntos, el lanzamiento del dado no sería una variable aleatoria, porque siempre saldrían seis puntos.
