Düzgün ve Normal Dağılım

Uygulamada sık sık karşılaşabileceğimiz iki tipik sıklık dağılımı vardır: düzgün sıklık dağılımı ve normal sıklık dağılımı.

Düzgün Sıklık Dağılımı

Düzgün dağılım, veri kümemizde tüm değerlerin eşit sıklıkta bulunması demektir. Örneğin 2000, 2001, …, 2009 yıllarının kaç aydan oluştuğunu sayabiliriz:

Klasik, idealleştirilmiş bir zar atarsak 1 gelme olasılığı $\frac{1}{6}$, 2 gelme olasılığı $\frac{1}{6}$ vb. olur. Her çıktının olasılığı eşit olduğu için düzgün olasılık dağılımından söz ederiz.

Altının $\frac{1}{3}$ olasılıkla geldiği hileli bir zarımız olsaydı, dağılım düzgün olmazdı. Diğer yüzlerin de olasılığı $\frac{1}{3}$ olamaz. Aynı şekilde her aydaki gün sayısını da sayabilirdik — tüm aylar aynı sayıda güne sahip olmadığı için bu bir düzgün sıklık dağılımı olmazdı.

Normal Olasılık Dağılımı

Normal dağılıma bazen Gauss dağılımı da denir. Yalnızca sürekli rastgele değişkenlerde kullanılır. Standart normal dağılımın şekli şöyledir:

Bu eğri, Gauss fonksiyonu denen şu fonksiyonla tanımlanır:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Fonksiyon oldukça karmaşıktır, onu ezberlemen gerekmez. Ama normal dağılımı ortalama ve standart sapma / varyans ile parametrelendirebileceğimizi görüyoruz. Ortalama ve sapmanın farklı değerleri için farklı grafikler elde edebiliriz:

Normal dağılım önemlidir, çünkü gerçek hayatta karşılaşabileceğimiz çeşitli dağılımları oldukça iyi modeller. Eğrinin her zaman tek bir mutlak maksimumu olduğunu ve bunun tam olarak ortalama değerin olduğu noktada bulunduğunu görüyoruz. Örneğin kırmızı eğrinin maksimumu X = 0 noktasındadır, yani bu değişkenin ortalama değeri sıfırdır. Eğri simetriktir: X eksenine dik olan ve ortalamadan, yani X = 0 noktasından geçen doğruya göre eksenel simetriktir. Başka bir deyişle eğri, sıfırın solunda sıfırın sağındakiyle aynı görünür. Yeşil eğri de aynı özelliklere sahiptir, ancak sıfırda değil, X = −2 noktasında.

Normal dağılım, insanlar arasındaki zekâ ya da IQ dağılımını iyi bir şekilde tanımlayabilir. IQ’nun ortalama değeri tanım gereği 100’dür. Ayrıca IQ’su 100’den yüksek olanların sayısı ile 100’den düşük olanların sayısı yaklaşık olarak eşittir. Ortalamanın biraz altında zekâya sahip olanlar, ortalamanın biraz üstünde zekâya sahip olanlar kadar çoktur; çok düşük ve çok yüksek zekâya sahip olanlar da aynı şekilde yaklaşık eşit sayıdadır. IQ’nun yaklaşık dağılımını gösteren grafik:

Normal dağılımda standart sapma büyük rol oynar. Dağılım normalse ve sapması σ ise, değerlerin yaklaşık %68’i [μ − σ, μ + σ] aralığında yer alır. Yani değerlerin kabaca %68’i ortalamadan en fazla bir standart sapma kadar farklıdır. Değerlerin yaklaşık %95’i [μ − 2σ, μ + 2σ] aralığında, %99,7’si ise [μ − 3σ, μ + 3σ] aralığında yer alır. Bunu aşağıdaki şekil açıkça gösterir:

Bağlantılar ve Kaynaklar

• Bazı şekiller Vikipedi’den alınmıştır: Normal dağılım ve Intelligence maddeleri.