Olasılık Dağılımı

Bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, değişkenin tam olarak belirli bir değeri alma olasılığının ne olduğunu bize söyler.

Kesikli Değişkenin Dağılımı

Kesikli bir rastgele değişkenimiz olsun. Örneğin çay tiryakisi komşumuz Kerem’in günde kaç bardak çay içtiğini izleyebiliriz. Kerem’i bir ay boyunca izleyerek aşağıdaki tabloyu oluşturduk:

Kerem’in ay başında kendini biraz tuttuğunu, ama sonra bardak bardak çay içtiğini görüyoruz. 11. günden başlayan hafta da çılgınca geçmiş olmalı. Bu kesikli rastgele değişkene X diyelim. Şimdi bizi, Kerem’in ayın herhangi bir gününde tam olarak x bardak çay içme olasılığı ilgilendiriyor.

Olasılığı hesaplamadan önce sıradan bir sıklık grafiği çizelim. Kerem’in herhangi bir günde içtiği tüm çay bardağı sayılarını bulup sıklık grafiğine işleriz. Örneğin Kerem toplam dokuz gün on bardak çay içti, bu yüzden on bardak için değeri dokuz olan bir sütunumuz olacak:

Grafiği şöyle okuruz: Kerem ayda üç gün altı bardak çay içti.

Kerem’in bir günde on bardak çay içme olasılığı nedir? Bunu biçimsel olarak şöyle yazarız: olasılık fonksiyonuna P dersek, on bardak sorusunu P(X = 10) biçiminde yazarız. Bu sorumuzla rastgele değişken X’in on değerini alma olasılığını soruyoruz.

Olasılık, bu değerin göreli sıklığına eşit olacak. O hâlde bir de göreli sıklık grafiği çizelim:

Artık P(X = 10) değerinin 0,3 olduğunu, yani %30 olduğunu söyleyebiliriz.

Deneysel ve Teorik Olasılık

Örnek olarak klasik bir zar alalım. Zarı 600 kez atmayı deneyelim. Klasik teorik olasılık açısından birin, ikinin, …, altının gelme şansı eşittir. Zarın her yüzünün gelme olasılığı $\frac{1}{6}$’dır. Tamamen kuramsal olarak, zarı altı yüz kez attığımızda her yüzün tam olarak yüz kez gelmesi gerekirdi.

Bu büyük olasılıkla olmayacaktır. Deneyimizde şu sonuçları elde edebiliriz:

Zarda bir noktanın gelmesinin göreli sıklığının, dolayısıyla olasılığının da 0,175 olduğunu, yani %17,5 olduğunu görüyoruz. Bu, 0,16666… olan $\frac{1}{6}$ olasılığına yakın, ama tam olarak aynı değil.

Bu, iki olasılıktan birinin yanlış olduğu anlamına gelmez. Kusursuz dengeli bir zar yapmak hiç de kolay değildir; zarı 600 kez atma testini yapmak da aynı şekilde zor olabilir.

Teorik olasılık, zarı sonsuza kadar atabileceğimiz ideal koşullarda geçerlidir. İdeal biçimde dengeli bir zarı ne kadar uzun süre atarsak, tek tek atışların göreli sıklıkları teorik olasılığa o kadar yaklaşır.

Bu yüzden iki olasılığı ayırt ederiz: idealleştirilmiş koşullardan çıkan teorik olasılık ve verilerimizdeki göreli sıklıklardan hesapladığımız deneysel (ampirik) olasılık.

Deneysel olasılığı hesaplamak için yeterince büyük bir veri kümemiz olmalıdır. Örneğin Kerem’i yalnızca bir ay izledik, ama onu en az bir yıl izlesek çok daha iyi olurdu.

Sürekli Değişkenin Dağılımı

Sürekli değişkende olasılığı belirli bir noktada değil, her zaman yalnızca bir aralıkta belirleriz. Olasılık eğrinin altında kalan alana eşit olacak, bu yüzden hesaplamak için integrale ihtiyacımız olacak. Sürekli bir değişkenin grafiği örneğin şöyle olabilir; bu, cm cinsinden ölçülen bir sapma olabilir:

x ekseninde cm cinsinden değerler, y ekseninde göreli sıklıklar var. Diyelim ki yalnızca [−4, 4] aralığındaki değerleri ölçtük. Bu aralıkta bir sapma ölçme deneysel olasılığı bu durumda 1’dir, yani %100’dür.

Alan bununla nasıl ilgili? p olasılık fonksiyonu olmak üzere ${\int }_{-4}^{4}p(x)$ alanının tam olarak o %100’ü verdiğini söyleriz. Değerin [0, 4] aralığında olma deneysel olasılığını sorsaydık, şöyle bir şekil elde ederdik:

Önceki taralı bölge %100’e karşılık geliyordu, bu bölge ise %50’ye karşılık gelir, çünkü alanı açıkça yarısı kadardır. Deneysel olasılığı tam olarak şu oran olarak yazarız:

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Büyük Sayılar Yasası

Önceki bölümle ünlü büyük sayılar yasası da ilgilidir. Bu yasa kabaca şunu söyler: bağımsız deneylerin sayısı büyükken göreli sıklık (deneysel olasılık) teorik olasılığa yaklaşır.

Bunu yine madenî paranın atılması üzerinde düşünebiliriz. Yazı ya da tura gelebilir, her yüzün olasılığı $\frac{1}{2}$, yani %50’dir. Parayı dört kez atarsak üç kez yazı, bir kez tura gelebilir. Göreli sıklıklar bu durumda $\frac{3}{4}$ ve $\frac{1}{4}$’tür. Bu, $\frac{1}{2}$’den epey uzaktır.

Toplam on kez atarsak yedi kez yazı, üç kez tura gelebilir. Sıklıklar $\frac{7}{10}$ ve $\frac{3}{10}$ olur. Bunlar hâlâ $\frac{1}{2}$’den uzak, ama bu sayılar yine de bir önceki sıklıklardan yarıma daha yakın.

Böyle devam edebiliriz. Parayı bin kez atsaydık, 520 kez yazı ve 480 kez tura gelebilirdi. Bunlar artık $\frac{13}{25}$ ve $\frac{12}{25}$ sıklıklarıdır ve yarıma çok yaklaşmıştır (fikir vermesi için $\frac{13}{25}=0,52$).

Göreli sıklıklar yarıma çok daha yakın olsa da mutlak sıklıkların “ideal” sıklıktan çok daha uzak olduğuna dikkat et. Parayı on kez attığımızda her yüz için ideal mutlak sıklık 5’ti. Yani beş kez yazı, beş kez tura gelmeliydi. Yazı yedi kez geldiği için iki atışlık fark oluşur: 7 − 5 = 2. İdeal durumdan “iki atış farklı” attık.

Ama parayı bin kez attığımızda yazı 520 kez geldi; bu, ideale göre 20 atışlık fark demektir, çünkü ideal durumda her yüz 500 kez gelmeliydi. Yani ne kadar çok atarsak o kadar uzak sonuçlar elde ediyormuşuz gibi görünür.

Bunun hiçbir sakıncası yok; büyük sayılar yasası mutlak sıklıkların değil, göreli sıklıkların ideale yaklaşacağını söyler. Göreli sıklıklar da yaklaşır. Yani mutlak sıklıklarda belki uzaklaşırız, ama göreli sıklıklarda yaklaşırız.