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Concetti fondamentali di statistica

La statistica è la scienza che studia, elabora e valuta i dati.

Popolazione

Lo scopo della statistica è condurre un esperimento che serva a scoprire qualcosa di interessante su una data popolazione. Per popolazione si intende, in generale, un qualsiasi insieme di elementi che vogliamo studiare. Se vogliamo scoprire qual è l’età media degli abitanti dell’Italia, la nostra popolazione saranno tutti gli abitanti dell’Italia.

Se invece vogliamo scoprire il consumo medio di benzina delle automobili ogni cento chilometri, la nostra popolazione sarà l’insieme di tutte le automobili (in un dato territorio).

Campione

Spesso non è possibile lavorare con tutti gli elementi della popolazione. Immaginiamo di voler sapere che cosa pensano gli italiani dell’obbligo della matematica all’esame di Stato (la maturità). Per scoprirlo davvero dovremmo andare di casa in casa, di paese in paese, e chiedere a ogni cittadino che cosa ne pensa. Una cosa del genere in pratica non è fattibile. Ecco alcuni motivi:

  • È troppo costoso. Intervistare circa cinquantanove milioni di abitanti non è economico: un censimento di tutta la popolazione costa molti milioni di euro.
  • Richiede troppo tempo. Una rilevazione del genere si prepara certamente per diversi mesi; se ti serve il risultato della statistica entro una settimana, è un tempo troppo lungo.
  • Non tutti vorranno rispondere. Qualcuno, per principio, non vorrà rispondere alle tue domande. Se la nostra popolazione è fatta di macchine, queste possono rompersi. Se osservassi i chilometri percorsi dalle automobili, potrebbe succedere che il contachilometri si guasti o che qualcuno lo manometta di proposito.
  • L’esperimento può essere troppo pericoloso. Una domanda sulla maturità difficilmente farà venire un infarto a qualcuno, ma possiamo prendere un altro esempio: la sperimentazione di un nuovo farmaco, il «guaritutto». Che cosa succederebbe se provassimo il guaritutto su tutta la popolazione italiana e durante la sperimentazione si scoprisse che il 20% delle persone trattate viene subito colpito da una terribile diarrea? Forse è meglio provare prima il farmaco su un gruppo più piccolo di persone, no?

Per evitare questi svantaggi, dalla popolazione scegliamo soltanto un campione. Se abbiamo una popolazione P, un campione V è un qualsiasi sottoinsieme di P, cioè V ⊆ P. L’esperimento lo eseguiamo poi soltanto su questo campione V e generalizziamo i risultati a tutta la popolazione. Questi risultati saranno naturalmente imprecisi: quanto lo saranno dipende soprattutto da quanto è grande il campione V e dal metodo con cui abbiamo scelto gli elementi di V.

Errori tipici possono essere:

  • Un numero di elementi di V troppo piccolo. Se chiedi che cosa pensano della maturità alle prime sette persone che incontri, non puoi ottenere risultati sensati.
  • Un campione non rappresentativo della popolazione. Se chiedi che cosa pensano della matematica alla maturità a mille laureati in Matematica, otterrai risposte diverse da quelle che avresti chiedendolo a mille studenti del quarto anno delle scuole superiori.

Variabili

Durante l’esperimento studiamo gli elementi del campione. I dati che osserviamo si chiamano variabili e i valori delle variabili si chiamano modalità. Esistono alcuni tipi fondamentali di variabili:

  • Variabile qualitativa: di solito non ha senso misurare questa variabile, si tratta di una descrizione a parole. Un esempio tipico è la domanda sulla nazionalità. Le modalità di una tale variabile saranno ad es. «nazionalità italiana», «nazionalità francese» ecc. Non ha senso misurare la nazionalità o confrontare quella italiana con quella francese. Possiamo confrontare il numero di italiani e di francesi, ma non possiamo confrontare le nazionalità in sé.

A questa categoria appartiene anche la domanda sulla matematica obbligatoria alla maturità, in cui ci si aspettano risposte come «sì, voglio la matematica obbligatoria alla maturità» oppure «no, non voglio la matematica obbligatoria alla maturità»: sono le modalità di questa variabile. Anche qui possiamo confrontare il numero delle risposte, ma non ha senso confrontare il «sì» e il «no» in sé.

  • Variabile quantitativa: questa variabile la misuriamo. Si tratta quindi di lunghezze, masse, tempi, quantità e simili. Le variabili quantitative si dividono a loro volta in variabili discrete e continue:

Variabile discreta

Una variabile discreta ha un numero finito di modalità oppure un numero numerabile di modalità (vedi più avanti). Abbastanza spesso si tratta di numeri interi. Ad esempio il numero di alunni in una classe: in una classe normale ce ne saranno, diciamo, tra quindici e quaranta.

Una variabile discreta si distingue per il fatto che siamo sempre in grado di dire quali sono la modalità successiva e quella precedente. Se nella 3ª B ci sono 28 ragazzi, la modalità precedente è 27 ragazzi e quella successiva 29 ragazzi. Con una variabile qualitativa di solito non siamo in grado di farlo: qual è la modalità che segue la nazionalità italiana?

Una variabile discreta può anche essere infinita, ma deve essere numerabile, cioè dobbiamo comunque essere in grado di determinare la modalità precedente e quella successiva. Potremmo ad esempio introdurre la variabile «distanza tra due oggetti con la precisione di un chilometro». Se misuriamo che la distanza tra due oggetti, per esempio un’automobile e un fienile, è di 12 chilometri, vale di nuovo che la modalità successiva e quella precedente sono rispettivamente 13 e 11 chilometri. La distanza, inoltre, probabilmente non ha alcun limite. Se abbiamo due oggetti distanti 1.500.000 chilometri, di sicuro troveremo anche oggetti distanti 1.500.001 chilometri.

La variabile resterebbe discreta anche se cambiassimo la precisione ai decimi di chilometro (cioè alle centinaia di metri). Potremmo allora misurare una distanza di 15,7 km e i valori successivo e precedente sarebbero 15,8 e 15,6.

Se la modalità precedente o quella successiva non esiste, questo non contraddice il fatto che la variabile sia discreta. Per esempio, per la distanza di zero chilometri non esiste una modalità precedente: la distanza di meno un chilometro non è definita. Eppure la distanza con la precisione di un chilometro è una variabile discreta.

Variabile continua

Una variabile continua ha sempre un numero infinito di modalità. I valori sono tipicamente numeri reali, quindi si tratta ad esempio della distanza (senza specificare la precisione). Per le variabili continue non siamo in grado di determinare né la modalità precedente né quella successiva. Se misuriamo che la distanza di qualcosa è 3,58745 metri, non siamo in grado di trovare il numero che viene esattamente dopo questo.

Nell’insieme dei numeri reali ci sono anche i numeri irrazionali con sviluppo decimale infinito. Noi naturalmente non abbiamo strumenti che riescano a misurare una distanza con una precisione simile, quindi nella realtà ogni variabile di questo tipo è comunque discreta, proprio perché ogni strumento ha una certa precisione. Se misuri qualcosa con il righello, hai la precisione di un millimetro. Puoi così misurare che un libro è largo 167 mm o 168 mm, ma niente nel mezzo; naturalmente, a meno che tu non lo stimi in qualche modo, ecc.

Se hai uno strumento più scientifico, puoi avere la precisione di un micrometro. Per misurare un oggetto in modo del tutto esatto, però, nemmeno questo probabilmente basterà.

Nonostante tutto, di solito parliamo della distanza o della massa come di variabili continue. In pratica una simile semplificazione è necessaria e di solito non crea problemi.

Variabile casuale

Una variabile casuale è una variabile discreta o continua di cui, prima di eseguire l’esperimento, non siamo in grado di determinare il valore finale. Una variabile casuale può essere quindi il risultato del lancio di un dado a sei facce. Finché non lanciamo il dado, non possiamo sapere quale numero uscirà.

Possiamo anche essere in grado di prevedere che alcuni valori saranno più probabili di altri, questo non è un problema, basta non essere del tutto certi di ottenere un determinato valore. Per esempio, se estraessimo a caso un abitante dell’Italia e gli chiedessimo in quale città vive, è più probabile che viva a Roma che in un paesino come Pennabilli. A Roma, semplicemente, vive più gente.

Se avessimo un dado con sei puntini su cinque facce e due puntini sulla sesta, è molto più probabile che nel lancio esca il sei. Ma resta comunque una variabile casuale, perché non è certo che esca il sei.

Se modificassimo questo dado in modo che su tutte e sei le facce ci siano sei puntini, il lancio del dado non sarebbe una variabile casuale, perché uscirebbe sempre il sei.