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Grundbegriffe der Statistik

Die Statistik ist eine Wissenschaft, die Daten untersucht, verarbeitet und auswertet.

Grundgesamtheit

Das Ziel der Statistik ist es, ein Experiment durchzuführen, mit dem wir etwas Interessantes über eine bestimmte Grundgesamtheit herausfinden. Unter einer Grundgesamtheit versteht man allgemein jede Menge von Elementen, die wir gerade untersuchen wollen. Wenn wir herausfinden wollen, wie alt die Einwohner Tschechiens im Durchschnitt sind, dann besteht unsere Grundgesamtheit aus allen Einwohnern Tschechiens.

Wollen wir aber den durchschnittlichen Benzinverbrauch von Pkw auf hundert Kilometer ermitteln, ist unsere Grundgesamtheit die Menge aller Pkw (in einem bestimmten Gebiet).

Stichprobe

Oft ist es nicht möglich, mit allen Elementen der Grundgesamtheit zu arbeiten. Stellen wir uns vor, wir wollen herausfinden, was die Menschen in Tschechien von einem Pflichtabitur in Mathematik halten. Um das wirklich herauszufinden, müssten wir von Tür zu Tür gehen und jeden Bürger fragen, was er vom Pflichtabitur in Mathematik hält. Das ist in der Praxis nicht möglich. Einige Gründe:

  • Es ist zu teuer. Alle rund zehneinhalb Millionen Einwohner zu befragen ist nicht billig. Die erste Direktwahl des Präsidenten kostete zum Beispiel 25 Millionen Euro.
  • Es dauert zu lange. Die Wahl wurde sicher mehrere Monate lang vorbereitet – wenn du das Ergebnis einer Statistik in einer Woche brauchst, ist das viel zu lang.
  • Nicht alle wollen antworten. Manche wollen aus Prinzip nicht auf deine Fragen antworten. Und wenn unsere Grundgesamtheit aus Maschinen besteht, können diese wiederum kaputtgehen. Wenn du bei Autos die gefahrenen Kilometer erfasst, kann es passieren, dass der Tacho kaputtgeht oder jemand ihn absichtlich zurückdreht.
  • Das Experiment kann zu gefährlich sein. Wegen einer Frage zum Pflichtabitur wird wohl niemand einen Herzinfarkt bekommen, aber wir können ein anderes Beispiel nehmen – das Testen eines neuen Medikaments „Allheilmittel“. Was würde passieren, wenn wir das Allheilmittel an der gesamten Bevölkerung Tschechiens testen würden und sich während des Tests herausstellte, dass 20 % der Getesteten sofort schrecklichen Durchfall bekommen? Nun, es ist wohl besser, das Medikament zuerst an einer kleineren Gruppe von Menschen zu testen, oder?

Um diese Nachteile zu vermeiden, wählen wir aus der Grundgesamtheit nur eine Auswahl (auch Stichprobe genannt) aus. Wenn wir die Grundgesamtheit P haben, dann ist jede Teilmenge von P eine Stichprobe V, also V ⊆ P. Unser Experiment führen wir dann nur an dieser Stichprobe V durch und verallgemeinern die Ergebnisse auf die gesamte Grundgesamtheit. Diese Ergebnisse werden natürlich ungenau sein – wie ungenau, hängt vor allem davon ab, wie groß die Stichprobe V ist und nach welcher Methode wir die Elemente für V ausgewählt haben.

Typische Fehler können also sein:

  • Zu wenige Elemente in V. Wenn du die ersten sieben Leute, die du siehst, nach dem Pflichtabitur fragst, kannst du keine sinnvollen Ergebnisse bekommen.
  • Eine nicht repräsentative Auswahl von Elementen aus der Grundgesamtheit. Wenn du tausend Absolventen der Fakultät für Mathematik und Physik nach dem Pflichtabitur in Mathematik fragst, bekommst du andere Antworten, als wenn du tausend Schüler der 11. Klasse fragst.

Merkmale

Während des Experiments untersuchen wir die Elemente der Stichprobe. Die Angaben, die wir beobachten, nennen wir Merkmale, und die Werte der Merkmale nennen wir Merkmalsausprägungen. Es gibt grundlegende Arten von Merkmalen:

  • Qualitatives Merkmal: Dieses Merkmal zu messen ergibt in der Regel keinen Sinn, es handelt sich um eine Beschreibung in Worten. Ein typisches Beispiel ist die Frage nach der Nationalität. Die Ausprägungen eines solchen Merkmals sind dann z. B. die Werte „tschechische Nationalität“, „slowakische Nationalität“ usw. Dabei ergibt es keinen Sinn, die tschechische und die slowakische Nationalität zu messen oder zu vergleichen. Wir können die Anzahl der Tschechen und der Slowaken vergleichen, aber die Nationalität selbst können wir nicht vergleichen.

In diese Kategorie fällt auch die Frage nach dem Pflichtabitur, bei der die Antworten „ja, ich möchte ein Pflichtabitur in Mathematik“ oder „nein, ich möchte kein Pflichtabitur in Mathematik“ erwartet werden, und das sind die Ausprägungen dieses Merkmals. Wieder können wir die Anzahl der Antworten vergleichen, aber es ergibt keinen Sinn, das „Ja“ und das „Nein“ selbst zu vergleichen.

  • Quantitatives Merkmal: Dieses Merkmal messen wir. Es handelt sich also um Längen, Massen, Zeiten, Anzahlen und dergleichen. Quantitative Merkmale unterteilen wir weiter in diskrete und stetige Merkmale:

Diskretes Merkmal

Ein diskretes Merkmal hat endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen (siehe unten). Ziemlich oft handelt es sich um ganze Zahlen. Zum Beispiel die Anzahl der Schüler in einer Klasse – in einer normalen Klasse sind es, sagen wir, zwischen fünfzehn und vierzig Kinder.

Ein diskretes Merkmal zeichnet sich dadurch aus, dass wir immer sagen können, welche die nächste und die vorherige Ausprägung ist. Wenn in der Klasse 3b 28 Kinder sind, dann ist die vorherige Ausprägung 27 Kinder und die nächste 29 Kinder. Bei einem qualitativen Merkmal können wir das meistens nicht – welche Ausprägung kommt nach der tschechischen Nationalität?

Ein diskretes Merkmal kann auch unendlich sein, muss aber abzählbar sein – das heißt, wir müssen immer noch die vorherige und die nächste Ausprägung bestimmen können. Zum Beispiel könnten wir das Merkmal „Entfernung zweier Objekte auf einen Kilometer genau“ einführen. Wenn wir messen, dass die Entfernung zweier Objekte, zum Beispiel eines Autos und einer Scheune, 12 Kilometer beträgt, dann gilt wieder, dass die nächste und die vorherige Ausprägung 13 bzw. 11 Kilometer sind. Dabei ist die Entfernung wahrscheinlich nach oben nicht beschränkt. Wenn es zwei Objekte gibt, die 1.500.000 Kilometer voneinander entfernt sind, finden wir bestimmt auch Objekte, die 1.500.001 Kilometer voneinander entfernt sind.

Das Merkmal bliebe diskret, auch wenn wir die Genauigkeit auf Zehntelkilometer genau (also auf hundert Meter genau) ändern würden. Dann könnten wir eine Entfernung von 15,7 km messen, und die nächsten und vorherigen Werte wären 15,8 und 15,6.

Wenn die vorherige oder die nächste Ausprägung nicht existiert, widerspricht das nicht der Tatsache, dass das Merkmal diskret ist. Zum Beispiel existiert für die Entfernung null Kilometer keine vorherige Ausprägung – eine Entfernung von minus einem Kilometer definieren wir nicht. Trotzdem ist die Entfernung auf einen Kilometer genau ein diskretes Merkmal.

Stetiges Merkmal

Ein stetiges Merkmal hat immer unendlich viele Ausprägungen. Die Werte sind typischerweise reelle Zahlen, es handelt sich also zum Beispiel um die Entfernung (ohne den Zusatz zur Genauigkeit). Bei stetigen Merkmalen können wir weder die vorherige noch die nächste Ausprägung bestimmen. Wenn wir messen, dass die Entfernung von etwas 3,58745 Meter beträgt, dann können wir keine Zahl finden, die genau auf diese Zahl folgt.

In der Menge der reellen Zahlen liegen auch die irrationalen Zahlen mit unendlicher Dezimalentwicklung. Wir haben natürlich keine Geräte, die eine Entfernung so genau messen könnten, sodass in der Realität jedes solche Merkmal letztlich ohnehin diskret ist – gerade deshalb, weil jedes Gerät eine gewisse Genauigkeit hat. Wenn du etwas mit einem Lineal misst, hast du eine Genauigkeit von einem Millimeter. Du kannst also messen, dass ein Buch 167 mm oder 168 mm breit ist, aber nichts dazwischen; natürlich nur, sofern du es nicht irgendwie abschätzt usw.

Wenn du ein wissenschaftlicheres Gerät hast, kannst du eine Genauigkeit von einem Mikrometer haben. Für eine völlig exakte Messung eines Objekts wird aber auch das wahrscheinlich nicht ausreichen.

Trotzdem sprechen wir bei der Entfernung oder der Masse gewöhnlich von stetigen Merkmalen. In der Praxis ist eine solche Vereinfachung notwendig und stört gewöhnlich nicht.

Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße ist ein diskretes oder stetiges Merkmal, bei dem wir vor der Durchführung des Experiments den resultierenden Wert nicht bestimmen können. Eine Zufallsgröße kann also das Ergebnis eines Wurfs mit einem sechsseitigen Würfel sein. Solange wir mit dem Würfel nicht würfeln, können wir nicht wissen, welche Zahl fällt.

Wir können vielleicht vorhersagen, dass manche Werte wahrscheinlicher sind als andere, das stört uns nicht, nur dürfen wir uns nicht völlig sicher sein, dass wir einen bestimmten Wert erhalten. Wenn wir zum Beispiel zufällig einen Einwohner Tschechiens auswählen und ihn fragen würden, in welcher Stadt er lebt, ist es wahrscheinlicher, dass er in Prag lebt als irgendwo in Hintertupfingen. In Prag leben nämlich einfach mehr Menschen.

Wenn wir einen Würfel hätten, der auf fünf Seiten sechs Augen und auf der verbleibenden sechsten Seite zwei Augen hätte, wäre es viel wahrscheinlicher, dass beim Wurf sechs Augen fallen. Es ist aber immer noch eine Zufallsgröße, weil nicht sicher ist, dass sechs Augen fallen.

Wenn wir diesen Würfel so ändern würden, dass auf allen sechs Seiten sechs Augen wären, wäre der Wurf keine Zufallsgröße, weil immer sechs Augen fallen würden.