Grundlæggende begreber i statistik
Statistik er videnskaben, der undersøger, bearbejder og vurderer data.
Population
Statistikkens mål er at gennemføre et eksperiment, hvis formål er at finde ud af noget interessant om en given population. Med en population menes generelt en hvilken som helst samling af elementer, som vi netop vil undersøge. Hvis vi vil finde ud af, hvad gennemsnitsalderen for indbyggerne i Danmark er, så er vores population alle indbyggere i Danmark.
Hvis vi derimod vil finde ud af personbilers gennemsnitlige benzinforbrug (i kilometer pr. liter), er vores population lig med mængden af alle personbiler (i det pågældende område).
Stikprøve
Ofte er det ikke muligt at arbejde med alle populationens elementer. Forestil dig, at vi vil finde ud af, hvad folk i Danmark mener om en obligatorisk eksamen i matematik til studentereksamen. For virkelig at finde ud af, hvad folk mener om den obligatoriske eksamen, skulle vi gå fra dør til dør og spørge hver eneste borger, hvad han eller hun mener om en obligatorisk eksamen i matematik til studentereksamen. Noget sådant er i praksis ikke muligt. Nogle grunde:
- Det er for dyrt. At spørge alle cirka seks millioner indbyggere er ikke billigt.
- Det tager for lang tid. En spørgeundersøgelse blandt alle indbyggere ville sikkert tage flere måneder at forberede — hvis du skal bruge resultatet af en statistik om en uge, er det alt for lang tid.
- Ikke alle vil svare. Nogle vil af princip ikke svare på dine spørgsmål. Hvis vores population er maskiner, kan de til gengæld gå i stykker. Hvis du fulgte antallet af kørte kilometer for biler, kan det ske, at kilometertælleren går i stykker, eller at nogen med vilje skruer den tilbage.
- Eksperimentet kan være for farligt. Af et spørgsmål om en obligatorisk eksamen får nok ingen hjerteanfald, men vi kan tage et andet eksempel — afprøvning af en ny medicin, »Alkuren«. Hvad ville der ske, hvis vi afprøvede Alkuren på hele Danmarks befolkning, og det under afprøvningen viste sig, at 20 % af de testede personer øjeblikkeligt får voldsom diarré? Nå, det er nok bedre først at teste medicinen på en mindre gruppe mennesker, ikke?
For at undgå disse ulemper vælger vi kun en stikprøve fra den givne population. Hvis vi har en population P, så er stikprøven V enhver delmængde af P, altså V ⊆ P. Vores eksperiment gennemfører vi derefter kun på denne stikprøve V og generaliserer resultaterne til hele populationen. Disse resultater bliver naturligvis upræcise — hvor upræcise de bliver, afhænger først og fremmest af, hvor stor stikprøven V er, og hvilken metode vi har valgt til at udvælge elementer til V.
Typiske fejl kan derfor være:
- For få elementer i V. Hvis du spørger de første syv mennesker, du ser, om den obligatoriske eksamen i matematik, kan du ikke få meningsfulde resultater.
- En ikke-repræsentativ udvælgelse af elementer fra populationen. Hvis du spørger tusind kandidater i matematik og fysik fra et universitet om den obligatoriske eksamen i matematik, får du andre svar, end hvis du spurgte tusind elever i 3.g på gymnasierne.
Variable
Under eksperimentet undersøger vi stikprøvens elementer. De oplysninger, vi følger, kalder vi variable, og værdierne af variablerne kalder vi observationsværdier. Der findes grundlæggende typer af variable:
- Kvalitativ variabel: denne variabel giver typisk ikke mening at måle, der er tale om en slags verbal vurdering. Et typisk eksempel kan være spørgsmålet om nationalitet. Observationsværdierne af en sådan variabel vil f.eks. være »dansk nationalitet«, »svensk nationalitet« osv. Det giver ikke mening at måle eller sammenligne dansk og svensk nationalitet. Vi kan sammenligne antallet af danskere og svenskere, men selve nationaliteten kan vi ikke sammenligne.
Til denne kategori hører også spørgsmålet om den obligatoriske eksamen, hvor man forventer svarene »ja, jeg vil have en obligatorisk eksamen i matematik« eller »nej, jeg vil ikke have en obligatorisk eksamen i matematik«, som er observationsværdier for denne variabel. Igen kan vi sammenligne antallet af svar, men det giver ikke mening at sammenligne selve »ja« og »nej«.
- Kvantitativ variabel: denne variabel måler vi. Det er altså længder, vægte, tider, antal og lignende. Kvantitative variable deler vi yderligere i diskrete og kontinuerte variable:
Diskret variabel
En diskret variabel har et endeligt antal observationsværdier eller et tælleligt antal observationsværdier (se nedenfor). Ret ofte er der tale om hele tal. For eksempel antallet af elever i en klasse — i en almindelig klasse vil der, lad os sige, være mellem femten og fyrre børn.
En diskret variabel kendetegnes ved, at vi altid kan sige, hvad den næste og den foregående observationsværdi er. Hvis der er 28 børn i 3.b, så er den foregående værdi 27 børn og den næste 29 børn. For en kvalitativ variabel kan vi som regel ikke gøre det — hvad er den næste værdi efter dansk nationalitet?
En diskret variabel kan også være uendelig, men den skal være tællelig — det betyder, at vi stadig skal kunne bestemme den foregående og den næste observationsværdi. Vi kunne for eksempel indføre variablen »afstanden mellem to objekter med en nøjagtighed på én kilometer«. Hvis vi måler, at afstanden mellem to objekter, for eksempel en bil og en lade, er 12 kilometer, så gælder det igen, at den næste og den foregående værdi er henholdsvis 13 og 11 kilometer. Afstanden er samtidig sandsynligvis ikke begrænset på nogen måde. Hvis vi har to objekter, der er 1.500.000 kilometer fra hinanden, finder vi sikkert også objekter, der er 1.500.001 kilometer fra hinanden.
Variablen ville forblive diskret, selv hvis vi ændrede nøjagtigheden til tiendedele af en kilometer (dvs. til hundreder af meter). Så kunne vi måle afstanden 15,7 km, og den næste og den foregående værdi ville være 15,8 og 15,6.
Hvis den foregående eller den næste observationsværdi ikke findes, er det ikke i strid med, at variablen er diskret. For eksempel findes der for afstanden nul kilometer ingen foregående værdi — afstanden minus én kilometer definerer vi ikke. Alligevel er afstanden med en nøjagtighed på én kilometer en diskret variabel.
Kontinuert variabel
En kontinuert variabel har altid et uendeligt antal observationsværdier. Værdierne er typisk reelle tal, så der er for eksempel tale om afstand (uden tilføjelse om nøjagtighed). For kontinuerte variable kan vi hverken bestemme den foregående eller den næste observationsværdi. Hvis vi måler, at afstanden til noget er 3,58745 meter, kan vi ikke finde tallet, der kommer lige efter dette tal.
I mængden af reelle tal er der også irrationale tal med en uendelig decimalfremstilling. Vi har selvfølgelig ikke instrumenter, der kunne måle en afstand med en sådan nøjagtighed, så i virkeligheden er enhver sådan variabel alligevel diskret — netop fordi ethvert instrument har en vis nøjagtighed. Hvis du måler noget med en lineal, har du en nøjagtighed på én millimeter. Du kan så måle, at en bog er 167 mm eller 168 mm bred, men intet derimellem; medmindre du selvfølgelig på en eller anden måde skønner det osv.
Hvis du har et mere videnskabeligt instrument, kan du have en nøjagtighed på én mikrometer. Til at måle et objekt helt nøjagtigt vil det dog sandsynligvis heller ikke slå til.
På trods af alt det taler vi almindeligvis om afstand eller vægt som kontinuerte variable. I praksis er en sådan forenkling nødvendig og gør som regel ingen skade.
Stokastisk variabel
En stokastisk variabel er en diskret eller kontinuert variabel, hvor vi ikke kan bestemme den resulterende værdi, før vi har udført eksperimentet. En stokastisk variabel kan således være resultatet af et kast med en sekssidet terning. Før vi kaster med terningen, kan vi ikke vide, hvilket tal der kommer op.
Vi kan godt være i stand til at forudsige, at nogle værdier er mere sandsynlige end andre, det gør ikke noget, vi må bare ikke være helt sikre på, at vi får en bestemt værdi. Hvis vi for eksempel tilfældigt udtrak én indbygger i Danmark og spurgte ham eller hende, i hvilken by han eller hun bor, er det mere sandsynligt, at han eller hun bor i København end et sted som Struer. Der bor simpelthen flere mennesker i København.
Hvis vi havde en terning, der på fem sider havde seks øjne og på den sidste, sjette side to øjne, er det langt mere sandsynligt, at vi slår seks øjne. Det er stadig en stokastisk variabel, fordi det ikke er sikkert, at der kommer seks øjne op.
Hvis vi ændrede denne terning, så der var seks øjne på alle seks sider, ville et kast med terningen ikke være en stokastisk variabel, for vi ville altid slå seks øjne.
