Varyans

Varyans, veri kümemizdeki değerlerin ne kadar dağınık olduğunu bize söyler. Varyansa bazen sapmaların kareleri ortalaması da denir.

Varyans nedir

8-B sınıfından seçilmiş on öğrencinin karnedeki dönem sonu puanlarını gösteren aşağıdaki tabloya bak (puanlar 1’den 5’e kadar, 5 en iyisi). İki ders ilgimizi çekecek: matematik ve tarih.

Öğrencilerin çoğunun matematikten 4’ü olduğunu, ara sıra birinin 5 ya da 3 aldığını görüyoruz. Tarih sütununda ise tam bir kaos var — puanlar 1’den 5’e kadar dağılmış ve hiçbir puan belirgin biçimde ağır basmıyor. Yani tarih puanları matematik puanlarından daha dağınık.

Matematik puanlarının ortalamasını hesaplarsak 4,1 çıkar. Değerlerin çoğunun bu değere oldukça yakın olduğunu görüyoruz. Buna karşılık tarihte ortalama 3,4 çıkıyor ve puanların çoğu bu değere yakın değil.

Bu dağınıklığı sayıyla nasıl ifade ederiz?

Varyans nasıl hesaplanır

Önceki tablodaki verileri bir grafiğe aktarıp yalnızca tarih puanlarını gösterelim.

x ekseninde yine öğrenciler var (bu sefer isimsiz; yani 1 = Tolga, 2 = Mert vb. varsayalım). y ekseninde dönem sonu puanları var. y = 3,4 doğrusu ortalama değeri gösteriyor.

Varyansı ortalamadan olan uzaklıkların karelerinin ortalaması olarak hesaplarız. Kulağa gizemli geliyor, ama basit. x’in karesini kenar uzunluğu x olan bir karenin alanı olarak düşünebiliriz. Böylece grafiğimizde, kenar uzunluğu değerin ortalamadan uzaklığına eşit olan kareler oluştururuz:

Grafikte böyle dört kare gösterilmiş, hepsi sığmazdı. Defne’nin ortalamaya oldukça yakın olduğunu görüyoruz, bu yüzden karesi küçük. Ömer ise ortalamadan uzak, bu yüzden karesi büyük. Tüm kareleri çizip bu karelerin ortalama alanını hesaplasaydık, varyansı elde ederdik.

X = (x₁, …, x_N) değerler kümemiz varsa ve $\bar{x}$ ortalama değerse, Var ile göstereceğimiz varyansı şöyle hesaplarız:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}((x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\dots +(x_N-\bar{x}{)}^2)$$

Ya da toplam sembolüyle şöyle:

$$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$$

Neden tam olarak $(x_1-\bar{x}{)}^2$? $x_1-\bar{x}$ ifadesi tek başına bize x₁ noktasının ortalamadan uzaklığını verirdi. Daha doğrusu, x₁ değeri ortalamadan küçük olabileceği için $|x_1-\bar{x}|$ (mutlak değer) yazmamız gerekirdi. Karenin alanını bilmek istediğimiz için bu değerin karesini alırız.

Veri kümemizin varyansı şöyle olurdu:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Tarih})=\frac{1}{10}((2-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+\\ (5-3,4{)}^2+(3-3,4{)}^2+(2-3,4{)}^2+\\ (1-3,4{)}^2+(5-3,4{)}^2+(4-3,4{)}^2+\\ (2-3,4{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 22,4=2,24\end{array}$$

Varyans 2,24’tür. Matematik puanlarının varyansı ise şöyle olurdu:

$$\begin{array}{r}\mathrm{Var}(\text{Matematik})=\frac{1}{10}((4-4,1{)}^2+(5-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+\\ (4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+(5-4,1{)}^2+\\ (4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+(4-4,1{)}^2+\\ (3-4,1{)}^2)=\frac{1}{10}\cdot 2,9=0,29\end{array}$$

Varyans 0,29’dur. Bu kümenin varyansının, beklendiği gibi, çok daha küçük olduğunu görüyoruz.

Excel’de varyans nasıl hesaplanır

Türkçe Excel’de de İngilizce Excel’de de bunun için VAR işlevi ya da onun bir çeşidi kullanılır. Örneğin VAR.P işlevine parametre olarak hücre aralığını veririz.