Basisbegrippen van de statistiek
Statistiek is de wetenschap die gegevens onderzoekt, verwerkt en beoordeelt.
Populatie
Het doel van de statistiek is een onderzoek uit te voeren waarmee we iets interessants te weten komen over een bepaalde populatie. Met een populatie bedoelen we in het algemeen elke verzameling elementen die we willen onderzoeken. Als we willen weten wat de gemiddelde leeftijd van de inwoners van Nederland is, dan is onze populatie alle inwoners van Nederland.
Willen we daarentegen het gemiddelde brandstofverbruik van personenauto's per honderd kilometer weten, dan is onze populatie de verzameling van alle personenauto's (in een bepaald gebied).
Steekproef
Vaak is het niet mogelijk om met alle elementen van de populatie te werken. Stel dat we willen weten wat mensen in Nederland vinden van een verplicht centraal examen wiskunde. Om echt te weten te komen wat mensen van een verplicht examen vinden, zouden we van deur tot deur moeten gaan en elke inwoner moeten vragen wat hij of zij van een verplicht centraal examen wiskunde vindt. Dat is in de praktijk niet mogelijk. Enkele redenen:
- Het is te duur. Het is niet goedkoop om alle bijna 18 miljoen inwoners te ondervragen. Een landelijke verkiezing organiseren kost bijvoorbeeld tientallen miljoenen euro's.
- Het duurt te lang. Verkiezingen worden maandenlang voorbereid — als je het resultaat van een onderzoek binnen een week nodig hebt, is dat veel te lang.
- Niet iedereen wil antwoorden. Sommige mensen willen om principiële redenen geen vragen van je beantwoorden. Als onze populatie uit machines bestaat, kunnen die op hun beurt kapotgaan. Als je bij auto's het aantal gereden kilometers bijhoudt, kan de kilometerteller kapotgaan of kan iemand hem opzettelijk terugdraaien.
- Het onderzoek kan te gevaarlijk zijn. Van een vraag over het centraal examen wiskunde krijgt waarschijnlijk niemand een hartaanval, maar we kunnen een ander voorbeeld nemen — het testen van een nieuw medicijn, “Alleshelper”. Wat zou er gebeuren als we Alleshelper zouden testen op de hele Nederlandse bevolking en tijdens het testen zou blijken dat 20% van de geteste mensen meteen vreselijke diarree krijgt? Het lijkt toch beter om het medicijn eerst op een kleinere groep mensen te testen, of niet?
Om deze nadelen te vermijden kiezen we uit de populatie maar een deel, een steekproef. Als we een populatie P hebben, dan is een steekproef V elke deelverzameling van P, dus V ⊆ P. Ons onderzoek voeren we dan alleen uit op deze steekproef V en de resultaten generaliseren we naar de hele populatie. Deze resultaten zijn natuurlijk onnauwkeurig — hoe onnauwkeurig ze zijn, hangt vooral af van hoe groot de steekproef V is en van de methode waarmee we de elementen van V hebben gekozen.
Typische fouten kunnen dus zijn:
- Te weinig elementen in V. Als je de eerste zeven mensen die je ziet vraagt naar het centraal examen wiskunde, kun je geen zinvolle resultaten krijgen.
- Een niet-representatieve keuze van elementen uit de populatie. Als je duizend afgestudeerde wiskundestudenten vraagt naar een verplicht centraal examen wiskunde, krijg je andere antwoorden dan wanneer je duizend leerlingen uit het derde leerjaar van de middelbare school vraagt.
Variabelen
Tijdens het onderzoek bekijken we de elementen van de steekproef. De gegevens die we waarnemen noemen we variabelen. Elke variabele kan verschillende waarden aannemen. Er bestaan een paar basistypen variabelen:
- Kwalitatieve variabele: deze variabele kun je meestal niet zinvol meten, het gaat om een omschrijving in woorden. Een typisch voorbeeld is de vraag naar de nationaliteit. De waarden van zo'n variabele zijn bijvoorbeeld “Nederlandse nationaliteit”, “Belgische nationaliteit” enzovoort. Het heeft daarbij geen zin om de Nederlandse en de Belgische nationaliteit te meten of te vergelijken. We kunnen de aantallen Nederlanders en Belgen vergelijken, maar de nationaliteit zelf kunnen we niet vergelijken.
Hieronder valt ook de vraag over het verplichte examen, waarbij we de antwoorden “ja, ik wil een verplicht centraal examen wiskunde” of “nee, ik wil geen verplicht centraal examen wiskunde” verwachten, en dat zijn waarden van deze variabele. Ook hier kunnen we de aantallen antwoorden vergelijken, maar het heeft geen zin om “ja” en “nee” zelf te vergelijken.
- Kwantitatieve variabele: deze variabele meten we. Het gaat dus om lengtes, massa's, tijden, aantallen en dergelijke. Kwantitatieve variabelen verdelen we verder in discrete en continue variabelen:
Discrete variabele
Een discrete variabele heeft een eindig aantal waarden of een aftelbaar aantal waarden (zie verderop). Heel vaak gaat het om gehele getallen. Bijvoorbeeld het aantal leerlingen in een klas — in een gewone klas zitten, laten we zeggen, tussen de vijftien en de dertig kinderen.
Een discrete variabele kenmerkt zich doordat we altijd kunnen zeggen wat de volgende en de vorige waarde is. Als er in klas 3B 28 kinderen zitten, dan is de vorige waarde 27 kinderen en de volgende 29 kinderen. Bij een kwalitatieve variabele kunnen we dat meestal niet — wat is de volgende waarde na de Nederlandse nationaliteit?
Een discrete variabele kan ook oneindig zijn, maar ze moet aftelbaar zijn — dat wil zeggen dat we nog steeds de vorige en de volgende waarde moeten kunnen aanwijzen. We zouden bijvoorbeeld de variabele “afstand tussen twee objecten, op één kilometer nauwkeurig” kunnen invoeren. Als we meten dat de afstand tussen twee objecten, bijvoorbeeld een auto en een schuur, 12 kilometer is, dan geldt weer dat de volgende en de vorige waarde 13, respectievelijk 11 kilometer zijn. Daarbij is de afstand waarschijnlijk op geen enkele manier begrensd. Als we twee objecten hebben die 1 500 000 kilometer van elkaar liggen, vinden we vast ook objecten die 1 500 001 kilometer van elkaar liggen.
De variabele zou discreet blijven, ook als we de nauwkeurigheid zouden veranderen naar tienden van een kilometer (dat wil zeggen naar honderden meters). Dan zouden we een afstand van 15,7 km kunnen meten en zouden de volgende en de vorige waarde 15,8 en 15,6 zijn.
Als een vorige of volgende waarde niet bestaat, is dat niet in strijd met het feit dat de variabele discreet is. Voor een afstand van nul kilometer bestaat er bijvoorbeeld geen vorige waarde — een afstand van min één kilometer definiëren we niet. Toch is de afstand op één kilometer nauwkeurig een discrete variabele.
Continue variabele
Een continue variabele heeft altijd een oneindig aantal waarden. De waarden zijn typisch reële getallen, het gaat dus bijvoorbeeld om een afstand (zonder toevoeging over de nauwkeurigheid). Bij continue variabelen kunnen we de vorige en de volgende waarde niet aanwijzen. Als we meten dat de afstand van iets 3,58745 meter is, dan kunnen we geen getal vinden dat precies na dit getal komt.
In de verzameling van de reële getallen zitten ook irrationale getallen met een oneindige decimale ontwikkeling. Wij hebben natuurlijk geen instrumenten die een afstand zo nauwkeurig kunnen meten, dus in werkelijkheid is zo'n variabele toch altijd discreet — juist omdat elk instrument een bepaalde nauwkeurigheid heeft. Als je iets met een liniaal meet, heb je een nauwkeurigheid van één millimeter. Je kunt dan meten dat een boek 167 mm of 168 mm breed is, maar niets ertussen; tenzij je het natuurlijk een beetje schat enzovoort.
Als je een wetenschappelijker instrument hebt, kun je een nauwkeurigheid van één micrometer halen. Om een voorwerp helemaal precies te meten zal ook dat waarschijnlijk niet genoeg zijn.
Toch beschouwen we afstand of massa gewoonlijk als continue variabelen. In de praktijk is zo'n vereenvoudiging nodig en meestal is dat geen enkel probleem.
Toevalsvariabele
Een toevalsvariabele is een discrete of continue variabele waarvan we de uitkomst niet kunnen bepalen voordat we het experiment hebben uitgevoerd. Een toevalsvariabele kan dus de uitkomst van een worp met een zeszijdige dobbelsteen zijn. Zolang we niet met de dobbelsteen hebben gegooid, kunnen we niet weten welk getal er valt.
We kunnen misschien voorspellen dat sommige waarden waarschijnlijker zijn dan andere, dat vormt geen probleem, we mogen alleen niet helemaal zeker weten dat we een bepaalde waarde krijgen. Als we bijvoorbeeld willekeurig één inwoner van Nederland kiezen en hem of haar vragen in welke plaats hij of zij woont, is het waarschijnlijker dat die persoon in Amsterdam woont dan ergens in Appingedam. In Amsterdam wonen nu eenmaal meer mensen.
Als we een dobbelsteen hadden met op vijf vlakken zes ogen en op het zesde vlak twee ogen, is het veel waarschijnlijker dat we bij een worp zes ogen gooien. Toch is het nog steeds een toevalsvariabele, want het is niet zeker dat er zes ogen vallen.
Als we deze dobbelsteen zo zouden aanpassen dat er op alle zes de vlakken zes ogen staan, zou een worp met de dobbelsteen geen toevalsvariabele zijn, want er zouden altijd zes ogen vallen.
