Matrice inverse

La matrice inverse est définie pour les matrices carrées inversibles. Le produit d’une matrice par sa matrice inverse donne la matrice identité.

Définition

On ne peut calculer une matrice inverse que pour une matrice carrée ; pour une matrice rectangulaire, la matrice inverse n’est pas définie. La matrice inverse d’une matrice A (notée A⁻¹) n’existe d’ailleurs que si la matrice est inversible (ses lignes ne sont pas linéairement dépendantes). Elle est alors déterminée de façon unique. Voici deux propriétés principales de la matrice inverse :

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Et surtout la propriété la plus importante de la matrice inverse (qui est en même temps sa définition) :

$$A\cdot A^{-1}=I$$

I est la matrice identité.

Comment calculer une matrice inverse

Passons à la méthode de calcul de la matrice inverse. L’algorithme le plus simple est la méthode du pivot de Gauss : on transforme la matrice A en matrice identité, on écrit à côté d’elle la matrice identité et on effectue sur cette dernière les mêmes opérations que sur A. À la fin du calcul, on a à gauche la matrice A transformée en matrice identité et à droite la matrice inverse. Essayons sur un exemple simple :

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

En un coup d’œil, on voit que la matrice est inversible, donc cela a un sens de calculer sa matrice inverse. Quand on calcule une matrice inverse, on écrit généralement :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

On transforme maintenant la matrice de gauche en matrice identité et on effectue exactement les mêmes opérations sur la matrice de droite. On ajoute −3 fois la première ligne à la deuxième. D’abord la matrice de gauche :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Ajoutons maintenant −3 fois la première ligne de la matrice de droite à sa deuxième ligne :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Il faut maintenant obtenir un zéro à la position a₁₂. Il suffit d’ajouter la deuxième ligne à la première. Cette fois, j’effectue les deux transformations en une seule étape :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Puis on se débarrasse du moins deux en divisant toute la ligne par moins deux :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

La matrice inverse obtenue est :

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Si tu veux vérifier que la matrice inverse calculée est correcte, multiplie-la par la matrice de départ :

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Pour contrôler, tu peux aussi utiliser WolframAlpha.

Calcul à l’aide du déterminant

On peut aussi calculer la matrice inverse à l’aide du déterminant. Si A est une matrice inversible, alors la matrice inverse A⁻¹ a pour coefficients $a_{ij}^{-1}$ égaux à :

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

À gauche, on a i,j, mais au numérateur on a j,i : attention, ce n’est pas une erreur, les indices sont bien intervertis. Au numérateur, A_j,i est la matrice extraite de A, obtenue quand on supprime de la matrice A la j-ième ligne et la i-ième colonne. Ainsi, si

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

alors :

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Si les indices inversés te dérangent, on peut aussi écrire :

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Autrement dit, si on n’intervertit pas les indices, on obtient la transposée de la matrice inverse. Si on transpose de nouveau cette matrice transposée, on obtient la matrice inverse.

Le calcul par cette méthode est en général long ; elle convient surtout au traitement par ordinateur, car elle est très directe. Dans l’exemple, nous allons essayer de calculer seulement deux nombres. Prenons donc cette matrice :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

On calcule d’abord le déterminant de toute cette matrice, qui sert de dénominateur à la fraction :

$$detA=-1$$

Calculons maintenant le premier coefficient de la matrice inverse. On le note $a_{11}^{-1}$. Il est égal à :

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

On a besoin de la matrice extraite A_1,1. En supprimant la première ligne et la première colonne, on obtient :

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Il faut calculer le déterminant de cette matrice :

$$det(A_{1,1})=8$$

Et on peut maintenant tout remplacer dans la formule :

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Voilà le premier coefficient de la matrice inverse.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Le deuxième nombre s’obtient ainsi :

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Le déterminant de la matrice extraite sera égal à

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

En remplaçant, on obtient :

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Une pièce de plus dans le puzzle :

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Et ainsi de suite.