Invers matrix

En invers matrix er en matrix, der er defineret for kvadratiske regulære matricer. Når man ganger en matrix med dens inverse, får man enhedsmatricen.

Definition

En invers matrix kan kun beregnes ud fra en kvadratisk matrix. For en rektangulær matrix er den inverse matrix ikke defineret. Den inverse matrix til matricen A (skrives A⁻¹) findes desuden kun, hvis matricen er regulær (har lineært uafhængige rækker). Den er så entydigt bestemt. De to vigtigste egenskaber ved den inverse matrix er:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Og først og fremmest den vigtigste egenskab ved den inverse matrix (som samtidig er definitionen på den inverse matrix):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E er enhedsmatricen.

Sådan beregner du den inverse matrix

Nu til metoden til at beregne den inverse matrix. Den enkleste algoritme er Gauss-elimination, som går ud på, at du omformer matricen A til enhedsmatricen, skriver enhedsmatricen ved siden af og udfører de samme operationer på den som på matricen A. Når beregningen er færdig, har du til venstre matricen A omformet til enhedsmatricen og til højre den inverse matrix. Vi prøver det på et simpelt eksempel:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Et hurtigt blik viser, at matricen er regulær, så det giver mening at beregne den inverse matrix. Når man beregner den inverse matrix, skriver man det som regel sådan:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Nu omformer vi den venstre matrix til enhedsmatricen og udfører de samme operationer på den højre matrix. Vi lægger −3 gange første række til anden række. Først den venstre matrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Nu lægger vi −3 gange første række i den højre matrix til anden række i den højre matrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Nu skal vi have et nul på plads a₁₂. Det er nok at lægge anden række til første række. Nu udfører jeg begge operationer i ét trin:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Og nu slipper vi af med minus to ved at dividere hele rækken med minus to:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Den inverse matrix er altså:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Hvis du vil kontrollere, om den beregnede inverse matrix er rigtig, kan du gange den med den oprindelige matrix:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Som kontrol kan du også kigge på WolframAlpha.

Beregning ved hjælp af determinanten

Den inverse matrix kan vi også beregne ved hjælp af determinanten. Hvis A er en regulær matrix, har den inverse matrix A⁻¹ elementerne $a_{ij}^{-1}$, som er lig med:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

På venstre side har vi i,j, men i tælleren har vi j,i. Pas på: det er ikke en fejl, at de er byttet om. I tælleren har vi matricen A_j,i, som er en delmatrix af A, vi får ved at fjerne j-te række og i-te søjle fra A. Hvis

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

gælder altså:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Hvis du ikke bryder dig om, at indeksene står omvendt, kan vi skrive det sådan i stedet:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Hvis du altså ikke bytter om på indeksene, beregner du den transponerede inverse matrix. Transponerer du denne matrix en gang til, får du den inverse matrix.

Det er som regel langsommeligt at regne efter denne metode, og den egner sig først og fremmest til maskinel behandling, fordi den er meget ligefrem. I eksemplet prøver vi kun at beregne to tal. Lad os altså tage denne matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Først beregner vi determinanten af hele matricen, som bruges i brøkens nævner:

$$det(A)=-1$$

Nu beregner vi det første element i den inverse matrix. Vi kalder det $a_{11}^{-1}$. Det bliver lig med:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Vi skal bruge delmatricen A_1,1. Ved at udelade første række og første søjle får vi:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Nu skal vi beregne determinanten af denne matrix:

$$det(A_{1,1})=8$$

Og nu kan vi sætte ind i formlen:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Så har vi det første resultat i den inverse matrix.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Det andet tal får vi sådan:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Delmatricens determinant bliver

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Og ved at sætte ind får vi:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Endnu en brik i puslespillet:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Og så videre, og så videre.