Invers matris

Den inversa matrisen är definierad för kvadratiska regulära matriser. Produkten av en matris och dess inversa matris är enhetsmatrisen.

Definition

Den inversa matrisen kan bara beräknas för en kvadratisk matris, för rektangulära matriser är den inte definierad. Den inversa matrisen till matrisen A (betecknas A⁻¹) finns dessutom bara om matrisen är regulär (har inga linjärt beroende rader). Den är då entydigt bestämd. De två viktigaste egenskaperna hos den inversa matrisen är:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Och framför allt den viktigaste egenskapen hos den inversa matrisen (som också är dess definition):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E är enhetsmatrisen.

Så beräknar du den inversa matrisen

Och nu till metoden för att beräkna den inversa matrisen. Den enklaste algoritmen är Gausselimination, som går ut på att du för matrisen A till enhetsmatrisen, skriver enhetsmatrisen bredvid och utför samma radoperationer på den som på matrisen A. I slutet av beräkningen har du till vänster matrisen A omformad till enhetsmatrisen och till höger den inversa matrisen. Vi provar på ett enkelt exempel:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Med en snabb blick ser vi att matrisen är regulär, så det är meningsfullt att beräkna den inversa matrisen. När vi beräknar den inversa matrisen skriver vi det vanligen så här:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Nu för vi den vänstra matrisen till enhetsmatrisen och utför samma radoperationer på den högra matrisen. Vi adderar −3 gånger rad 1 till rad 2. Först den vänstra matrisen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Nu adderar vi −3 gånger rad 1 i den högra matrisen till rad 2 i den högra matrisen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Nu måste vi få en nolla på plats a₁₂. Det räcker att addera rad 2 till rad 1. Nu utför jag båda operationerna i ett steg:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Nu blir vi av med minus tvåan genom att dividera hela raden med minus två:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Den inversa matrisen blir:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Om du vill kontrollera att den beräknade inversa matrisen är rätt, multiplicera den med den ursprungliga matrisen:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Som kontroll kan du titta på WolframAlpha.

Beräkning med determinanten

Den inversa matrisen kan vi också beräkna med hjälp av determinanten. Om vi har en regulär matris A har den inversa matrisen A⁻¹ elementen $a_{ij}^{-1}$, som är lika med:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Till vänster har vi i,j, men i täljaren har vi j,i. Observera att det inte är ett fel att de är ombytta. I täljaren har vi matrisen A_j,i, som är en delmatris av matrisen A som vi får genom att ta bort rad j och kolumn i ur A. Alltså, om

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

gäller:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Om du inte gillar att indexen är ombytta kan vi skriva det även så här:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Om du alltså inte byter plats på indexen beräknar du den transponerade inversa matrisen. Om du transponerar den matrisen en gång till får du den inversa matrisen.

Att räkna med den här metoden är oftast långdraget, den passar framför allt för maskinell behandling eftersom den är mycket rättfram. I exemplet försöker vi beräkna bara två tal. Vi har alltså den här matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Först beräknar vi determinanten av hela matrisen, den används i nämnaren i bråket:

$$det(A)=-1$$

Nu beräknar vi det första elementet i den inversa matrisen. Vi betecknar det $a_{11}^{-1}$. Det är lika med:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Vi behöver delmatrisen A_1,1. Om vi utelämnar rad 1 och kolumn 1 får vi:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Nu behöver vi beräkna determinanten av den matrisen:

$$det(A_{1,1})=8$$

Nu kan vi sätta in i formeln:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Och vi har det första resultatet för den inversa matrisen.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Det andra talet får vi så här:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Delmatrisens determinant blir

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Och när vi sätter in allt får vi:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Ännu en pusselbit:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Och så vidare, och så vidare.