Inverse Matrix

Die inverse Matrix ist eine Matrix, die für quadratische reguläre Matrizen definiert ist. Multiplizieren wir eine Matrix mit ihrer inversen Matrix, erhalten wir die Einheitsmatrix.

Definition

Die inverse Matrix lässt sich nur für eine quadratische Matrix berechnen, für eine rechteckige Matrix ist die inverse Matrix nicht definiert. Die inverse Matrix zur Matrix A (wir bezeichnen sie mit A⁻¹) existiert außerdem nur dann, wenn die Matrix regulär ist (keine linear abhängigen Zeilen hat). Diese Matrix ist dann eindeutig bestimmt. Die zwei wichtigsten Eigenschaften der inversen Matrix sind:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Und vor allem die wichtigste Eigenschaft der inversen Matrix (die zugleich auch die Definition der inversen Matrix ist):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E ist die Einheitsmatrix.

Wie man die inverse Matrix berechnet

Und jetzt zur Methode der Berechnung der inversen Matrix. Der einfachste Algorithmus ist das gaußsche Eliminationsverfahren. Es besteht darin, dass du die Matrix A auf die Einheitsmatrix umformst, neben diese Matrix die Einheitsmatrix schreibst und auf diese Matrix dieselben Umformungen anwendest wie auf die Matrix A. Am Ende des Rechenprozesses hast du links die zur Einheitsmatrix umgeformte Matrix A und rechts die inverse Matrix. Probieren wir es an einem einfachen Beispiel aus:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Mit einem flüchtigen Blick stellen wir fest, dass die Matrix regulär ist, also ist es sinnvoll, die inverse Matrix zu berechnen. Berechnen wir die inverse Matrix, schreiben wir es üblicherweise in dieser Form:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Nun formen wir die linke Matrix zur Einheitsmatrix um und führen identische Umformungen an der rechten Matrix durch. Wir addieren das −3-Fache der ersten Zeile zur zweiten. Zuerst die linke Matrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Jetzt addieren wir das −3-Fache der ersten Zeile der rechten Matrix zur zweiten Zeile der rechten Matrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Jetzt müssen wir eine Null an die Position a₁₂ bekommen. Es genügt, wenn wir zur ersten Zeile die zweite Zeile addieren. Nun führe ich beide Umformungen schon in einem Schritt durch:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Und jetzt werden wir die Minus-Zwei los, indem wir die ganze Zeile durch minus zwei dividieren:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Die resultierende inverse Matrix ist:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Willst du überprüfen, ob die berechnete inverse Matrix richtig ist, multipliziere sie mit der ursprünglichen Matrix:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Zur Kontrolle kannst du dir WolframAlpha ansehen.

Berechnung mit der Determinante

Die inverse Matrix können wir noch mithilfe der Determinante berechnen. Haben wir eine reguläre Matrix A, dann gilt für die Elemente $a_{ij}^{-1}$ der inversen Matrix A⁻¹:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Auf der linken Seite haben wir i,j, aber im Zähler haben wir j,i – Vorsicht, es ist kein Fehler, dass es so vertauscht ist. Im Zähler haben wir die Matrix A_j,i, das ist die Untermatrix der Matrix A, die wir erhalten, wenn wir aus der Matrix A die j-te Zeile und die i-te Spalte entfernen. Wenn also

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

dann gilt:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Wenn dir nicht gefällt, dass dort die Indizes umgekehrt sind, können wir es noch so schreiben:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Oder anders gesagt: Wenn du die Indizes nicht vertauschst, berechnest du die transponierte inverse Matrix. Wenn du diese transponierte Matrix noch einmal transponierst, erhältst du die inverse Matrix.

Die Berechnung mit dieser Methode ist meist langwierig, sie eignet sich vor allem für die maschinelle Verarbeitung, weil sie sehr geradlinig ist. Im Beispiel versuchen wir, nur zwei Zahlen zu berechnen. Wir haben also diese Matrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Als Erstes berechnen wir die Determinante dieser ganzen Matrix, sie wird im Nenner des Bruchs verwendet:

$$det(A)=-1$$

Jetzt berechnen wir das erste Element der inversen Matrix. Wir bezeichnen es mit $a_{11}^{-1}$. Es ist gleich:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Wir brauchen die Untermatrix A_1,1. Indem wir die erste Zeile und die erste Spalte weglassen, erhalten wir:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Jetzt müssen wir die Determinante dieser Matrix berechnen:

$$det(A_{1,1})=8$$

Und jetzt können wir endlich in die Formel einsetzen:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Und wir haben das erste Element der inversen Matrix.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Die zweite Zahl erhalten wir so:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Die Determinante der Untermatrix ist gleich

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Und durch vollständiges Einsetzen erhalten wir:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Das nächste Puzzleteil:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Und so weiter, und so weiter.