Invers matrise

En invers matrise er en matrise som er definert for kvadratiske regulære matriser. Når vi multipliserer en matrise med dens inverse matrise, får vi identitetsmatrisen.

Definisjon

En invers matrise kan bare regnes ut for en kvadratisk matrise, for en rektangulær matrise er den inverse matrisen ikke definert. Den inverse matrisen til matrisen A (skrives A⁻¹) finnes dessuten bare hvis matrisen er regulær (har ingen lineært avhengige rader). Denne matrisen er da entydig bestemt. De to viktigste egenskapene til den inverse matrisen er:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Og framfor alt den viktigste egenskapen til den inverse matrisen (som samtidig er definisjonen av den inverse matrisen):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E er identitetsmatrisen.

Hvordan regne ut en invers matrise

Og nå til metoden for å regne ut en invers matrise. Den enkleste algoritmen er Gauss' eliminasjonsmetode, som går ut på at du bringer matrisen A til identitetsform og skriver identitetsmatrisen ved siden av denne matrisen, og på denne matrisen utfører du de samme operasjonene som på matrisen A. Når utregningen er ferdig, har du til venstre matrisen A omformet til identitetsmatrisen og til høyre den inverse matrisen. La oss prøve det på et enkelt eksempel:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Med et raskt blikk ser vi at matrisen er regulær, så det gir mening å regne ut den inverse matrisen. Når vi regner ut en invers matrise, skriver vi det vanligvis på formen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Nå omformer vi den venstre matrisen til identitetsmatrisen og utfører identiske operasjoner på den høyre matrisen. Vi legger −3 ganger den første raden til den andre. Først den venstre matrisen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Nå legger vi −3 ganger den første raden i den høyre matrisen til den andre raden i den høyre matrisen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Nå må vi få null på plassen a₁₂. Det er nok å legge den andre raden til den første raden. Nå utfører jeg begge operasjonene i ett trinn:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Og nå blir vi kvitt minus toeren ved å dividere hele raden med minus to:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Den resulterende inverse matrisen er:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Hvis du vil kontrollere om den utregnede inverse matrisen er riktig, multipliserer du den med den opprinnelige matrisen:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

For å kontrollere kan du se på WolframAlpha.

Utregning ved hjelp av determinanten

Den inverse matrisen kan vi også regne ut ved hjelp av determinanten. Hvis vi har en regulær matrise A, har den inverse matrisen A⁻¹ elementer $a_{ij}^{-1}$ som er lik:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

På venstre side har vi i,j, men i telleren har vi j,i. Vær oppmerksom på det, det er ikke en feil at det er byttet om slik. I telleren har vi matrisen A_j,i, som er en delmatrise av matrisen A som vi får ved å fjerne den j-te raden og den i-te kolonnen fra matrisen A. Så hvis

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

så gjelder:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Hvis du ikke liker at indeksene er byttet om, kan vi også skrive det slik:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Altså hvis du ikke bytter om indeksene, regner du ut den transponerte inverse matrisen. Hvis du transponerer denne transponerte matrisen en gang til, får du den inverse matrisen.

Utregning med denne metoden er vanligvis langdryg, den passer først og fremst for maskinell behandling, fordi den er svært rett fram. I eksempelet prøver vi bare å regne ut to tall. Så la oss si at vi har denne matrisen:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Først regner vi ut determinanten til hele denne matrisen, den brukes i nevneren til brøken:

$$det(A)=-1$$

Nå regner vi ut det første elementet i den inverse matrisen. Vi kaller det $a_{11}^{-1}$. Det blir lik:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Vi trenger delmatrisen A_1,1. Ved å utelate den første raden og den første kolonnen får vi:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Nå må vi regne ut determinanten til denne matrisen:

$$det(A_{1,1})=8$$

Og nå kan vi sette helt inn i formelen:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Og vi har det første resultatet for den inverse matrisen.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Det andre tallet får vi slik:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Determinanten til delmatrisen blir lik

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Og ved å sette inn får vi til sammen:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Nok en brikke i puslespillet:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Og så videre, og så videre.