Käänteismatriisi

Käänteismatriisi on matriisi, joka on määritelty säännöllisille neliömatriiseille. Kun matriisi kerrotaan sen käänteismatriisilla, saadaan yksikkömatriisi.

Määritelmä

Käänteismatriisi voidaan laskea vain neliömatriisille, suorakulmaiselle matriisille käänteismatriisia ei ole määritelty. Matriisin A käänteismatriisi (merkitään A⁻¹) on lisäksi olemassa vain, jos matriisi on säännöllinen (sillä ei ole lineaarisesti riippuvia rivejä). Tällöin tämä matriisi on yksikäsitteinen. Käänteismatriisin kaksi tärkeintä ominaisuutta ovat:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Ja ennen kaikkea käänteismatriisin tärkein ominaisuus (joka on samalla myös käänteismatriisin määritelmä):

$$A\cdot A^{-1}=I$$

I on yksikkömatriisi.

Miten käänteismatriisi lasketaan

Sitten käänteismatriisin laskentatapaan. Yksinkertaisin algoritmi on Gaussin eliminointi, jossa matriisi A muunnetaan yksikkömuotoon ja tämän matriisin viereen kirjoitetaan yksikkömatriisi, johon tehdään samat muunnokset kuin matriisiin A. Laskennan lopussa vasemmalla on yksikkömatriisiksi muunnettu matriisi A ja oikealla käänteismatriisi. Kokeillaan sitä yksinkertaisella esimerkillä:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Pikaisella vilkaisulla nähdään, että matriisi on säännöllinen, joten käänteismatriisin laskemisessa on järkeä. Käänteismatriisia laskettaessa se kirjoitetaan yleensä muodossa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Nyt vasen matriisi muunnetaan yksikkömatriisiksi ja oikealle matriisille tehdään identtiset muunnokset. Lisätään ensimmäisen rivin −3-kertainen toiseen riviin. Ensin vasen matriisi:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Nyt lisätään oikean matriisin ensimmäisen rivin −3-kertainen oikean matriisin toiseen riviin:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Nyt täytyy saada nolla paikalle a₁₂. Riittää, että ensimmäiseen riviin lisätään toinen rivi. Tehdään nyt molemmat muunnokset yhdellä kertaa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Ja nyt päästään eroon tuosta miinus kakkosesta jakamalla koko rivi miinus kahdella:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Tuloksena oleva käänteismatriisi on:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Jos haluat tarkistaa, onko lasketty käänteismatriisi oikein, kerro se alkuperäisellä matriisilla:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Tarkistukseksi voit katsoa WolframAlphaa.

Laskeminen determinantin avulla

Käänteismatriisi voidaan laskea myös determinantin avulla. Jos A on säännöllinen matriisi, käänteismatriisin A⁻¹ alkiot $a_{ij}^{-1}$ ovat yhtä suuria kuin:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Vasemmalla puolella on i,j, mutta osoittajassa on j,i, huomaa se, kyse ei ole virheestä, että ne on vaihdettu tällä tavalla. Osoittajassa on matriisi A_j,i, joka on matriisin A alimatriisi, joka saadaan poistamalla matriisista A j:s rivi ja i:s sarake. Jos siis

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

niin pätee:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Jos et pidä siitä, että indeksit ovat toisin päin, sen voi kirjoittaa myös näin:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Eli jos indeksejä ei vaihdeta, lasketaan transponoitu käänteismatriisi. Jos tämä transponoitu matriisi transponoidaan uudelleen, saadaan käänteismatriisi.

Tällä menetelmällä laskeminen on yleensä pitkällistä, se sopii lähinnä koneelliseen käsittelyyn, koska se on hyvin suoraviivainen. Esimerkissä lasketaan vain kaksi lukua. Annettuna on siis tämä matriisi:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Ensin lasketaan koko tämän matriisin determinantti, jota käytetään murtoluvun nimittäjässä:

$$det(A)=-1$$

Nyt lasketaan käänteismatriisin ensimmäinen alkio. Merkitään sitä $a_{11}^{-1}$. Se on yhtä suuri kuin:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Tarvitaan alimatriisi A_1,1. Jättämällä pois ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake saadaan:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Nyt täytyy laskea tämän matriisin determinantti:

$$det(A_{1,1})=8$$

Ja nyt voidaan sijoittaa kaavaan:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Ja käänteismatriisin ensimmäinen tulos on selvillä.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Toinen luku saadaan näin:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Alimatriisin determinantti on yhtä suuri kuin

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Ja sijoittamalla kaikki saadaan:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Seuraava pala palapeliin:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Ja niin edelleen, ja niin edelleen.