O método de Trachtenberg para somar rapidamente
O método de Trachtenberg para somar é um procedimento para somar rapidamente vários números e depois conferir, por outro procedimento, se calculamos corretamente. O procedimento foi inventado pelo matemático russo Jakow Trachtenberg. Vamos mostrar o método com um exemplo. Vamos tentar somar estes três números:
Primeiro, escrevemos os números um embaixo do outro, assim:
Agora começamos a somar as colunas, da direita para a esquerda. O que nos interessa é se a soma é maior ou igual a 11. No primeiro passo, somamos a última coluna, isto é, somamos 1 + 5 + 2 = 8. Esse resultado é menor que 11, então simplesmente escrevemos o número embaixo da linha:
No segundo passo, somamos a segunda coluna da direita para a esquerda, isto é, somamos 5 + 7 + 6 = 18. O método de Trachtenberg diz que, sempre que a soma for maior ou igual a 11, subtraímos 11 da soma e anotamos quantas vezes tivemos de fazer isso. Como 18 é maior que 11, subtraímos 18 − 11 = 7. Escrevemos o número sete embaixo da linha e, como subtraímos o 11 uma vez, anotamos isso na linha de baixo:
Voltando à coluna anterior, a da extrema direita, vemos que a soma foi igual a oito e, portanto, não precisamos subtrair 11 nenhuma vez. Então completamos a tabela com o número zero:
Continuamos com a terceira coluna da direita para a esquerda e somamos 5 + 3 + 2 = 10. Não precisamos nos assustar com o número dez: ele é menor que 11, então o escrevemos embaixo da linha, junto com um zero, porque não precisamos subtrair 11:
E agora somamos a quarta coluna da direita para a esquerda, isto é, a primeira coluna. Vemos que 9 + 7 = 16, que já é maior que 11. Subtraímos, então, 16 − 11 = 5, lembramos que já subtraímos 11 uma vez e continuamos com o número 5, que somamos ao número da terceira linha, isto é, calculamos 5 + 9 = 14. O número catorze também é maior que 11, então subtraímos 14 − 11 = 3. Escrevemos esse resultado embaixo da linha, junto com a informação de que tivemos de subtrair o onze nada menos que duas vezes:
No resultado embaixo da linha, ainda acrescentamos uma coluna com dois zeros, que vai nos ser útil mais tarde:
Como obter o resultado no método de Trachtenberg
Traçamos mais uma linha horizontal e somamos as duas linhas de resultados intermediários. Primeiro, somamos 8 + 0 = 8 e escrevemos o resultado embaixo da linha:
A partir de agora, precisamos proceder de forma mais elaborada e somar os números em forma da letra “L”. Somamos, então, os dois números da penúltima coluna e adicionamos a eles o segundo número da coluna anterior, isto é, somamos 7 + 1 + 0 = 8:
Em seguida, somamos 10 + 0 + 1 = 11. Agora procedemos como na soma comum: escrevemos apenas o último algarismo, 1, e a dezena vai para a rodada seguinte.
Na rodada seguinte, somamos 3 + 2 + 0 + 1 = 6, em que o um no final é aquele que foi adiante na rodada anterior (isto é, para cada dezena que foi adiante, somamos aqui um um).
E agora, finalmente, aproveitamos aquela colunazinha com dois zeros — ela está ali apenas para não nos esquecermos de fazer a última soma 0 + 0 + 2 = 2.
Esse é o nosso resultado, obtido pelo método de Trachtenberg. Ou seja,
Verificação dos resultados intermediários
A vantagem do método de Trachtenberg é que podemos conferir com relativa facilidade se calculamos corretamente, sem refazer o cálculo inteiro. Trachtenberg encontrou um modo de verificar os resultados intermediários e o resultado final por um procedimento completamente diferente. Assim, se você calcular a soma pelo método de Trachtenberg e, ao mesmo tempo, fizer a verificação, pode ter bastante certeza de que calculou corretamente. Vamos, então, tentar verificar que o nosso resultado está correto.
Todo o nosso cálculo pode ser dividido em três partes. Temos as parcelas, os resultados intermediários e o resultado:
Na primeira fase, verificamos se calculamos corretamente os resultados intermediários. Para isso, precisamos calcular a raiz digital das colunas. A raiz digital de um número se obtém somando todos os algarismos do número. Por exemplo, a raiz digital do número 456 se obtém somando 4 + 5 + 6 = 15. Se o resultado for maior que 9, repetimos o processo, isto é, calculamos ainda 1 + 5 = 6. A raiz digital do número 456 é, portanto, igual a 6.
Agora voltamos às parcelas e calculamos a raiz digital da última coluna, isto é, a raiz digital do número 152: calculamos 1 + 5 + 2 = 8.
Em seguida, calculamos a raiz digital da penúltima coluna, isto é, do número 576, que é 5 + 7 + 6 = 18, e depois obtemos 1 + 8 = 9.
Para a terceira coluna da direita para a esquerda, obtemos 5 + 3 + 2 = 10; como o número tem dois algarismos, obtemos 1 + 0 = 1:
e para a primeira coluna temos 9 + 7 + 9 = 25 e depois 2 + 5 = 7:
As raízes digitais resultantes são: 7198. Agora vamos olhar para os resultados intermediários:
Copiamos a segunda linha e a inserimos no final, ou seja, teremos a segunda linha duas vezes:
Agora fazemos a mesma coisa que fizemos com as parcelas. De cada coluna formamos um número e calculamos a sua raiz digital. De novo, podemos começar pelo fim, e obtemos 8 + 0 + 0 = 8, a coluna seguinte dá 7 + 1 + 1 = 9, a seguinte 10 + 0 + 0 = 10 e depois 1 + 0 = 1, e por fim 3 + 2 + 2 = 7:
Agora comparamos os resultados das raízes digitais. As raízes digitais das parcelas nos deram o número 7198, assim como as raízes digitais dos resultados intermediários — ou seja, calculamos corretamente. Se esses resultados fossem diferentes, teríamos cometido um erro em algum lugar. Seja durante a verificação, seja durante a própria soma.
Verificação do resultado
Verificar que calculamos corretamente o resultado já é simples neste momento. Calculamos a raiz digital do resultado e a raiz digital das raízes digitais, e o valor tem de dar igual. Ou seja, pegamos o nosso resultado 26.188 e calculamos a sua raiz digital:
Agora calculamos a raiz digital das nossas raízes digitais calculadas, isto é, a raiz digital do número 7198:
Vemos que as duas raízes digitais são iguais a sete; a verificação, portanto, deu certo e calculamos corretamente!
