Trachtenbergs metode for rask addisjon
Trachtenbergs metode for addisjon er en fremgangsmåte for raskt å legge sammen flere tall og deretter kontrollere med en annen fremgangsmåte om vi har regnet riktig. Metoden ble utviklet av den russiske matematikeren Jakow Trachtenberg. Vi viser metoden på et eksempel. Vi prøver å legge sammen disse tre tallene:
Først skriver vi tallene under hverandre slik:
Nå begynner vi å legge sammen kolonnene, og vi begynner fra høyre. Vi er interessert i om summen er større enn eller lik 11. I det første trinnet legger vi sammen den siste kolonnen, altså 1 + 5 + 2 = 8. Dette resultatet er mindre enn 11, så vi skriver tallet bare under streken:
I det andre trinnet legger vi sammen den andre kolonnen fra høyre, altså 5 + 7 + 6 = 18. Trachtenbergs metode sier at når summen er større enn eller lik 11, trekker vi 11 fra summen og husker hvor mange ganger vi måtte gjøre det. Siden 18 er større enn 11, regner vi 18 − 11 = 7. Tallet sju skriver vi under streken, og siden vi trakk fra 11 én gang, noterer vi det en rad lenger ned:
Hvis vi går tilbake til den forrige kolonnen helt til høyre, ser vi at summen var lik åtte, og vi trengte altså ikke trekke fra 11 en eneste gang. Vi fyller derfor ut tabellen med tallet null:
Vi fortsetter med den tredje kolonnen fra høyre og regner 5 + 3 + 2 = 10. Vi lar oss ikke skremme av tallet ti, det er mindre enn 11, så vi skriver det under streken sammen med en null, siden vi ikke trengte å trekke fra 11:
Og nå legger vi sammen den fjerde kolonnen fra høyre, altså den første kolonnen. Vi ser at 9 + 7 = 16, som allerede er større enn 11. Vi regner derfor 16 − 11 = 5, husker at vi allerede én gang har trukket fra 11, og fortsetter med tallet 5, som vi legger til tallet fra tredje rad, altså regner vi 5 + 9 = 14. Også tallet fjorten er større enn 11, så vi regner 14 − 11 = 3. Dette resultatet skriver vi under streken sammen med opplysningen om at vi måtte trekke fra elleve hele to ganger:
Under resultatet legger vi også til en kolonne med to nuller, den får vi bruk for senere:
Slik får vi resultatet med Trachtenbergs metode
Vi trekker enda en vannrett strek og legger sammen begge radene med mellomresultater. Først legger vi sammen 8 + 0 = 8 og skriver resultatet under streken:
Fra nå av må vi gå mer komplisert fram, og vi må legge sammen tall i form av bokstaven «L». Vi legger altså sammen de to tallene i nest siste kolonne og legger til det andre tallet fra forrige kolonne, altså regner vi 7 + 1 + 0 = 8:
Videre regner vi 10 + 0 + 1 = 11. Nå går vi fram som ved vanlig addisjon: Vi skriver bare det siste sifferet 1, og tieren tar vi med til neste runde.
I neste runde regner vi 3 + 2 + 0 + 1 = 6, der eneren på slutten er den eneren som ble med videre i forrige runde (altså legger vi til én for hver tier som tas med videre).
Og nå får vi endelig bruk for den lille kolonnen med to nuller — den står der bare for at vi ikke skal glemme å gjøre den siste summen 0 + 0 + 2 = 2.
Dette er resultatet vi fikk med Trachtenbergs metode. Altså,
Kontroll av mellomresultatene
Fordelen med Trachtenbergs metode er at vi relativt enkelt kan kontrollere om vi har regnet riktig, uten å gjøre hele utregningen på nytt. Trachtenberg fant en måte å kontrollere både mellomresultatene og sluttresultatet på med en helt annen fremgangsmåte. Hvis du regner ut summen med Trachtenbergs metode og samtidig gjør kontrollen, kan du være ganske sikker på at du har regnet riktig. La oss derfor prøve å kontrollere at resultatet vårt er riktig.
Hele utregningen vår kan deles inn i tre deler. Vi har leddene, mellomresultatene og resultatet:
I den første fasen kontrollerer vi om vi har regnet ut mellomresultatene riktig. Til det må vi finne den gjentatte tverrsummen til kolonnene. Den gjentatte tverrsummen til et tall får vi ved å legge sammen alle sifrene i tallet. For eksempel får vi den gjentatte tverrsummen til tallet 456 ved å regne 4 + 5 + 6 = 15. Hvis resultatet er større enn 9, tar vi tverrsummen én gang til, altså regner vi i tillegg 1 + 5 = 6. Den gjentatte tverrsummen til tallet 456 er dermed 6.
Nå går vi tilbake til leddene og finner den gjentatte tverrsummen til den siste kolonnen, altså til tallet 152, og regner 1 + 5 + 2 = 8.
Videre finner vi den gjentatte tverrsummen til nest siste kolonne, altså tallet 576, som er 5 + 7 + 6 = 18, og videre får vi 1 + 8 = 9.
For den tredje kolonnen fra høyre får vi 5 + 3 + 2 = 10, og siden tallet har to sifre, får vi 1 + 0 = 1:
og for den første kolonnen har vi 9 + 7 + 9 = 25 og videre 2 + 5 = 7:
De gjentatte tverrsummene er altså: 7198. Nå ser vi på mellomresultatene:
Vi kopierer den andre raden og setter den inn nederst, slik at vi har den andre raden to ganger:
Nå gjør vi det samme som med leddene. Av hver kolonne lager vi et tall og finner den gjentatte tverrsummen til tallet. Vi kan igjen begynne bakfra, så vi får 8 + 0 + 0 = 8, neste kolonne gir 7 + 1 + 1 = 9, neste 10 + 0 + 0 = 10 og videre 1 + 0 = 1, og til slutt 3 + 2 + 2 = 7:
Nå sammenligner vi resultatene av tverrsummene. De gjentatte tverrsummene til leddene ga oss tallet 7198, akkurat som de gjentatte tverrsummene til mellomresultatene — vi har altså regnet riktig. Hvis disse resultatene hadde vært ulike, hadde vi gjort en feil et sted. Enten under kontrollen eller under selve addisjonen.
Kontroll av resultatet
Å kontrollere at vi har regnet ut resultatet riktig, er nå enkelt. Vi finner den gjentatte tverrsummen til resultatet og den gjentatte tverrsummen til tverrsummene, og de må bli like. Vi tar altså resultatet vårt 26 188 og finner den gjentatte tverrsummen til det:
Nå finner vi den gjentatte tverrsummen til de tverrsummene vi har regnet ut, altså til tallet 7198:
Vi ser at begge tverrsummene er lik sju, så kontrollen gikk bra, og vi har regnet riktig!
