Trachtenbergin nopean yhteenlaskun menetelmä
Trachtenbergin yhteenlaskumenetelmä on tapa laskea nopeasti yhteen useita lukuja ja tarkistaa sen jälkeen toisella tavalla, laskettiinko oikein. Menetelmän on kehittänyt venäläinen matemaatikko Jakow Trachtenberg. Menetelmää havainnollistetaan esimerkillä. Yritetään laskea yhteen nämä kolme lukua:
Kirjoitetaan ensin luvut allekkain näin:
Aloitetaan nyt sarakkeiden yhteenlasku oikealta. Kiinnostavaa on, onko summa suurempi tai yhtä suuri kuin luku 11. Ensimmäisessä vaiheessa lasketaan yhteen viimeinen sarake, eli lasketaan 1 + 5 + 2 = 8. Tämä tulos on pienempi kuin 11, joten luku vain kirjoitetaan viivan alle:
Toisessa vaiheessa lasketaan yhteen oikealta toinen sarake, eli lasketaan 5 + 7 + 6 = 18. Trachtenbergin menetelmän mukaan aina kun summa on suurempi tai yhtä suuri kuin 11, summasta vähennetään 11 ja merkitään muistiin, kuinka monta kertaa se jouduttiin tekemään. Koska 18 on suurempi kuin 11, vähennetään 18 − 11 = 7. Luku seitsemän kirjoitetaan viivan alle, ja koska 11 vähennettiin kerran, se merkitään yhtä riviä alemmas:
Kun vielä palataan edelliseen, aivan oikeanpuoleiseen sarakkeeseen, nähdään, että summa oli kahdeksan, joten lukua 11 ei tarvinnut vähentää kertaakaan. Täydennetään siis taulukkoon luku nolla:
Jatketaan oikealta kolmannella sarakkeella ja lasketaan 5 + 3 + 2 = 10. Lukua kymmenen ei tarvitse säikähtää, se on pienempi kuin 11, joten se kirjoitetaan viivan alle yhdessä nollan kanssa, koska 11:tä ei tarvinnut vähentää:
Ja nyt lasketaan oikealta neljäs sarake, eli ensimmäinen sarake. Nähdään, että 9 + 7 = 16, mikä on jo suurempi kuin 11. Vähennetään siis 16 − 11 = 5, merkitään muistiin, että 11 on jo kerran vähennetty, ja jatketaan luvulla 5, joka lasketaan yhteen kolmannen rivin luvun kanssa, eli lasketaan 5 + 9 = 14. Myös luku neljätoista on suurempi kuin 11, joten vähennetään 14 − 11 = 3. Tämä tulos kirjoitetaan viivan alle sen tiedon kanssa, että luku 11 jouduttiin vähentämään jopa kaksi kertaa:
Viivan alla olevaan tulokseen lisätään vielä yksi kahden nollan sarake, josta on myöhemmin hyötyä:
Miten Trachtenbergin menetelmällä saadaan tulos
Vedetään toinen vaakaviiva ja lasketaan yhteen molemmat välitulosrivit. Ensin lasketaan siis 8 + 0 = 8 ja kirjoitetaan tulos viivan alle:
Tästä lähtien täytyy edetä monimutkaisemmin ja laskea yhteen luvut L-kirjaimen muodossa. Lasketaan siis yhteen toiseksi viimeisen sarakkeen kaksi lukua ja lisätään niihin edellisen sarakkeen toinen luku, eli lasketaan 7 + 1 + 0 = 8:
Seuraavaksi lasketaan 10 + 0 + 1 = 11. Nyt edetään kuten tavallisessa yhteenlaskussa: kirjoitetaan vain viimeinen numero 1 ja kymmenen siirtyy seuraavalle kierrokselle.
Seuraavalla kierroksella lasketaan 3 + 2 + 0 + 1 = 6, jossa lopun ykkönen on se ykkönen, joka siirtyi edellisellä kierroksella eteenpäin (eli jokaisesta eteenpäin siirtyneestä kymmenestä lisätään tähän ykkönen).
Ja nyt viimein hyödynnetään tuota kahden nollan saraketta — se on tässä vain sitä varten, ettei viimeistä summaa 0 + 0 + 2 = 2 unohdeta tehdä.
Tämä on tulos, joka saatiin Trachtenbergin menetelmällä. Siis
Välitulosten tarkistus
Trachtenbergin menetelmän etu on, että voidaan verrattain helposti tarkistaa, laskettiinko oikein, tekemättä koko laskua uudelleen. Trachtenberg keksi tavan tarkistaa välitulokset ja lopullinen tulos aivan toisella menetelmällä. Kun siis lasket summan Trachtenbergin menetelmällä ja teet samalla tarkistuksen, voit olla melko varma, että laskit oikein. Kokeillaan siis tarkistaa, että saatu tulos on oikein.
Koko lasku voidaan jakaa kolmeen osaan. Ne ovat yhteenlaskettavat, välitulokset ja tulos:
Ensimmäisessä vaiheessa tarkistetaan, laskettiinko välitulokset oikein. Sitä varten täytyy laskea sarakkeiden toistetut numerosummat. Luvun toistettu numerosumma saadaan laskemalla yhteen kaikki kyseisen luvun numerot. Esimerkiksi luvun 456 numerosumma saadaan laskemalla 4 + 5 + 6 = 15. Jos tulos on suurempi kuin 9, lasketaan numerosumma vielä uudelleen, eli lasketaan vielä 1 + 5 = 6. Luvun 456 toistettu numerosumma on siis 6.
Palataan nyt yhteenlaskettaviin ja lasketaan viimeisen sarakkeen numerosumma, eli lasketaan luvun 152 numerosumma, 1 + 5 + 2 = 8.
Seuraavaksi lasketaan toiseksi viimeisen sarakkeen numerosumma, eli luvun 576, mikä on 5 + 7 + 6 = 18, ja edelleen saadaan 1 + 8 = 9.
Oikealta kolmannelle sarakkeelle saadaan 5 + 3 + 2 = 10, ja koska luvussa on kaksi numeroa, saadaan 1 + 0 = 1:
ja ensimmäiselle sarakkeelle saadaan 9 + 7 + 9 = 25 ja edelleen 2 + 5 = 7:
Numerosummien tulokseksi saadaan: 7198. Katsotaan nyt välituloksia:
Kopioidaan toinen rivi ja liitetään se loppuun, eli toinen rivi on siellä kahdesti:
Nyt tehdään sama kuin yhteenlaskettaville. Jokaisesta sarakkeesta muodostetaan luku ja lasketaan sen numerosumma. Voidaan taas aloittaa lopusta, joten saadaan 8 + 0 + 0 = 8, seuraava sarake antaa 7 + 1 + 1 = 9, seuraava 10 + 0 + 0 = 10 ja edelleen 1 + 0 = 1 ja lopuksi 3 + 2 + 2 = 7:
Tässä vaiheessa verrataan numerosummien tuloksia. Yhteenlaskettavien numerosummista tuli luku 7198, aivan kuten välitulostenkin numerosummista — laskettiin siis oikein. Jos nämä tulokset eroaisivat toisistaan, jossain olisi tehty virhe. Joko tarkistuksessa tai itse yhteenlaskussa.
Tuloksen tarkistus
Sen tarkistaminen, että tulos laskettiin oikein, on tässä vaiheessa jo helppoa. Lasketaan tuloksen numerosumma ja numerosummien numerosumma, ja niiden täytyy olla samat. Otetaan siis tulos 26 188 ja lasketaan sen numerosumma:
Nyt lasketaan laskettujen numerosummien numerosumma, eli luvun 7198 numerosumma:
Nähdään, että molemmat numerosummat ovat seitsemän, joten tarkistus onnistui ja laskettiin oikein!
