De methode van Trachtenberg voor snel optellen
De methode van Trachtenberg is een manier om snel meerdere getallen op te tellen en vervolgens met een andere werkwijze te controleren of we goed hebben gerekend. De werkwijze is bedacht door de Russische wiskundige Jakow Trachtenberg. We laten de methode zien aan een voorbeeld. We proberen deze drie getallen op te tellen:
Eerst schrijven we de getallen onder elkaar, zo:
Nu beginnen we de kolommen op te tellen, en we beginnen rechts. We letten erop of de som groter dan of gelijk aan 11 is. In de eerste stap tellen we de laatste kolom op, dus 1 + 5 + 2 = 8. Deze uitkomst is kleiner dan 11, dus we schrijven het getal gewoon onder de streep:
In de tweede stap tellen we de tweede kolom van rechts op, dus 5 + 7 + 6 = 18. De methode van Trachtenberg zegt dat we, zodra de som groter dan of gelijk aan 11 is, 11 van de som aftrekken en onthouden hoe vaak we dat hebben moeten doen. Omdat 18 groter is dan 11, trekken we af: 18 − 11 = 7. Het getal zeven schrijven we onder de streep en omdat we 11 één keer hebben afgetrokken, noteren we dat een rij lager:
Als we nog even terugkijken naar de vorige kolom helemaal rechts, zien we dat de som acht was en dat we dus 11 geen enkele keer hoefden af te trekken. We vullen dus in de tabel het getal nul in:
We gaan verder met de derde kolom van rechts en tellen 5 + 3 + 2 = 10 op. Schrik niet van het getal tien, het is kleiner dan 11, dus we schrijven het samen met een nul onder de streep, omdat we 11 niet hoefden af te trekken:
En nu tellen we de vierde kolom van rechts op, dus de eerste kolom. We zien dat 9 + 7 = 16, en dat is al groter dan 11. We trekken dus af: 16 − 11 = 5, we onthouden dat we 11 al één keer hebben afgetrokken en gaan verder met het getal 5, dat we optellen bij het getal uit de derde rij, dus we rekenen 5 + 9 = 14. Ook veertien is groter dan 11, dus we trekken af: 14 − 11 = 3. Deze uitkomst schrijven we onder de streep, samen met de informatie dat we elf zelfs twee keer hebben moeten aftrekken:
Aan de uitkomst onder de streep voegen we nog een kolom met twee nullen toe, die komt later van pas:
Hoe krijg je met de methode van Trachtenberg de uitkomst?
We zetten nog een horizontale streep en tellen beide rijen met tussenuitkomsten op. Als eerste tellen we dus 8 + 0 = 8 op en schrijven de uitkomst onder de streep:
Vanaf nu moeten we ingewikkelder te werk gaan en moeten we getallen optellen in de vorm van de letter “L”. We tellen dus de twee getallen uit de een-na-laatste kolom op en tellen daar het tweede getal uit de vorige kolom bij, dus we tellen 7 + 1 + 0 = 8 op:
Daarna tellen we 10 + 0 + 1 = 11 op. Nu gaan we te werk zoals bij gewoon optellen: we schrijven alleen het laatste cijfer 1 op en het tiental gaat naar de volgende ronde.
In de volgende ronde tellen we 3 + 2 + 0 + 1 = 6 op, waarbij de één aan het einde de één is die in de vorige ronde is doorgegaan (dus voor elk tiental dat doorgaat, tellen we hier één op).
En nu gebruiken we eindelijk dat kolommetje met twee nullen — dat staat er alleen maar om ervoor te zorgen dat we de laatste optelling 0 + 0 + 2 = 2 niet vergeten.
Dit is onze uitkomst, die we met de methode van Trachtenberg hebben gekregen. Dus,
Controle van de tussenuitkomsten
Het voordeel van de methode van Trachtenberg is dat we relatief gemakkelijk kunnen controleren of we goed hebben gerekend, zonder dat we de hele berekening opnieuw hoeven te doen. Trachtenberg vond een manier om zowel de tussenuitkomsten als het eindresultaat met een heel andere werkwijze te controleren. Als je de som dus met de methode van Trachtenberg uitrekent en tegelijk de controle uitvoert, kun je er vrij zeker van zijn dat je goed hebt gerekend. Laten we proberen te controleren of onze uitkomst klopt.
Onze hele berekening kunnen we in drie delen verdelen. We hebben de termen, de tussenuitkomsten en de uitkomst:
In de eerste fase controleren we of we de tussenuitkomsten goed hebben berekend. Daarvoor moeten we van de kolommen de cijferwortel bepalen. De cijferwortel van een getal krijgen we door alle cijfers van dat getal op te tellen. De cijferwortel van het getal 456 krijgen we bijvoorbeeld door 4 + 5 + 6 = 15 op te tellen. Als de uitkomst groter is dan 9, doen we nog een keer hetzelfde, dus we berekenen ook nog 1 + 5 = 6. De cijferwortel van het getal 456 is dus gelijk aan 6.
Nu gaan we terug naar de termen en berekenen we de cijferwortel van de laatste kolom, dus de cijferwortel van het getal 152: we rekenen 1 + 5 + 2 = 8 uit.
Vervolgens berekenen we de cijferwortel van de een-na-laatste kolom, dus van het getal 576, dat is 5 + 7 + 6 = 18, en dan krijgen we 1 + 8 = 9.
Voor de derde kolom van rechts krijgen we 5 + 3 + 2 = 10, en omdat het getal twee cijfers heeft, krijgen we 1 + 0 = 1:
en voor de eerste kolom hebben we 9 + 7 + 9 = 25 en dan 2 + 5 = 7:
De cijferwortels die eruit komen, zijn: 7198. Nu kijken we naar de tussenuitkomsten:
We kopiëren de tweede rij en voegen die onderaan toe, dus de tweede rij komt er twee keer te staan:
Nu doen we hetzelfde als bij de termen. Van elke kolom maken we een getal en berekenen we de cijferwortel. We kunnen weer aan het einde beginnen, dus we krijgen 8 + 0 + 0 = 8, de volgende kolom geeft 7 + 1 + 1 = 9, de volgende 10 + 0 + 0 = 10 en dan 1 + 0 = 1 en tot slot 3 + 2 + 2 = 7:
Nu vergelijken we de uitkomsten van de cijferwortels. De cijferwortels van de termen gaven ons het getal 7198, net als de cijferwortels van de tussenuitkomsten — we hebben dus goed gerekend. Als deze uitkomsten zouden verschillen, dan hebben we ergens een fout gemaakt. Óf tijdens de controle, óf tijdens het optellen zelf.
Controle van de uitkomst
Controleren of we de uitkomst goed hebben berekend, is nu eenvoudig. We bepalen de cijferwortel van de uitkomst en de cijferwortel van de cijferwortels, en die moeten gelijk zijn. We nemen dus onze uitkomst 26 188 en berekenen de cijferwortel ervan:
Nu berekenen we de cijferwortel van onze berekende cijferwortels, dus de cijferwortel van het getal 7198:
We zien dat beide cijferwortels gelijk zijn aan zeven, de controle is dus goed afgelopen en we hebben goed gerekend!
