Trachtenbergs metode til hurtig addition
Trachtenbergs additionsmetode er en fremgangsmåde til hurtigt at lægge flere tal sammen og bagefter med en anden fremgangsmåde kontrollere, om vi har regnet rigtigt. Fremgangsmåden blev opfundet af den russiske matematiker Jakow Trachtenberg. Vi viser metoden på et eksempel. Vi prøver at lægge disse tre tal sammen:
Først skriver vi tallene under hinanden sådan her:
Nu begynder vi at lægge søjlerne sammen, og vi begynder til højre. Vi er interesserede i, om summen er større end eller lig med tallet 11. I første trin lægger vi den sidste søjle sammen, altså 1 + 5 + 2 = 8. Dette resultat er mindre end 11, så vi skriver bare tallet under stregen:
I andet trin lægger vi den anden søjle fra højre sammen, altså 5 + 7 + 6 = 18. Trachtenbergs metode siger, at hver gang summen er større end eller lig med 11, trækker vi 11 fra summen og husker, hvor mange gange vi måtte gøre det. Da 18 er større end 11, trækker vi fra: 18 − 11 = 7. Tallet syv skriver vi under stregen, og fordi vi trak 11 fra én gang, noterer vi det en række længere nede:
Når vi vender tilbage til den forrige søjle yderst til højre, ser vi, at summen var otte, og at vi altså ikke skulle trække 11 fra en eneste gang. Vi sætter derfor tallet nul ind i tabellen:
Vi fortsætter med den tredje søjle fra højre og lægger sammen: 5 + 3 + 2 = 10. Vi lader os ikke skræmme af tallet ti, det er mindre end 11, så vi skriver det under stregen sammen med et nul, fordi vi ikke skulle trække 11 fra:
Og nu lægger vi den fjerde søjle fra højre sammen, altså den første søjle. Vi ser, at 9 + 7 = 16, og det er allerede større end 11. Vi trækker derfor fra: 16 − 11 = 5, husker, at vi allerede har trukket 11 fra én gang, og fortsætter med tallet 5, som vi lægger sammen med tallet fra den tredje række, altså vi beregner 5 + 9 = 14. Også tallet fjorten er større end 11, så vi trækker fra: 14 − 11 = 3. Dette resultat skriver vi under stregen sammen med oplysningen om, at vi måtte trække elleve fra hele to gange:
Til resultatet under stregen tilføjer vi endnu en søjle med to nuller, den får vi brug for senere:
Sådan får du resultatet med Trachtenbergs metode
Vi tegner endnu en vandret streg og lægger begge rækker af mellemresultater sammen. Først lægger vi altså 8 + 0 = 8 sammen og skriver resultatet under stregen:
Fra nu af skal vi gå mere kompliceret frem og lægge tal sammen i form af bogstavet »L«. Vi lægger altså de to tal fra den næstsidste søjle sammen og lægger det andet tal fra den forrige søjle til, altså vi beregner 7 + 1 + 0 = 8:
Dernæst lægger vi sammen: 10 + 0 + 1 = 11. Nu går vi frem som ved almindelig addition: vi skriver kun det sidste ciffer 1, og tieren går videre til næste runde.
I den næste runde lægger vi sammen: 3 + 2 + 0 + 1 = 6, hvor ettallet til sidst er det ettal, der gik videre i forrige runde (altså for hver tier, der gik videre, lægger vi her en ener til).
Og nu bruger vi endelig den lille søjle med de to nuller — den er her udelukkende, så vi ikke glemmer at lave den sidste sum 0 + 0 + 2 = 2.
Det er vores resultat, som vi fik med Trachtenbergs metode. Altså,
Kontrol af mellemresultater
Fordelen ved Trachtenbergs metode er, at vi forholdsvis let kan kontrollere, om vi har regnet rigtigt, uden at vi skal udføre hele beregningen igen. Trachtenberg fandt en måde at kontrollere både mellemresultaterne og det endelige resultat på med en helt anden fremgangsmåde. Hvis du altså beregner summen med Trachtenbergs metode og samtidig laver en kontrol, kan du være ret sikker på, at du har regnet rigtigt. Lad os nu prøve at kontrollere, at vores resultat er rigtigt.
Hele vores beregning kan vi opdele i tre dele. Vi har led, mellemresultater og resultat:
I første fase kontrollerer vi, om vi har beregnet mellemresultaterne rigtigt. Til det skal vi lave den gentagne tværsum (digital rod) af søjlerne. Den gentagne tværsum af et tal får vi ved at lægge alle tallets cifre sammen. Den gentagne tværsum af tallet 456 får vi for eksempel ved at lægge sammen 4 + 5 + 6 = 15. Hvis resultatet er større end 9, laver vi endnu en tværsum, altså vi beregner også 1 + 5 = 6. Den gentagne tværsum af tallet 456 er således lig med 6.
Nu vender vi tilbage til leddene og beregner den gentagne tværsum af den sidste søjle, altså af tallet 152, vi beregner 1 + 5 + 2 = 8.
Dernæst beregner vi den gentagne tværsum af den næstsidste søjle, altså af tallet 576, hvilket er 5 + 7 + 6 = 18, og dernæst får vi 1 + 8 = 9.
For den tredje søjle fra højre får vi 5 + 3 + 2 = 10, og fordi tallet har to cifre, får vi 1 + 0 = 1:
og for den første søjle har vi 9 + 7 + 9 = 25 og dernæst 2 + 5 = 7:
De resulterende gentagne tværsummer er lig med: 7198. Nu ser vi på mellemresultaterne:
Vi kopierer den anden række og sætter den ind til sidst, altså vi har den anden række der to gange:
Nu gør vi det samme som med leddene. Af hver søjle laver vi et tal og beregner dets gentagne tværsum. Vi kan igen begynde bagfra, så vi får 8 + 0 + 0 = 8, den næste søjle giver 7 + 1 + 1 = 9, den næste 10 + 0 + 0 = 10 og dernæst 1 + 0 = 1, og til sidst 3 + 2 + 2 = 7:
Nu sammenligner vi resultaterne af de gentagne tværsummer. De resulterende gentagne tværsummer af leddene gav os tallet 7198, ligesom de gentagne tværsummer af mellemresultaterne — vi regnede altså rigtigt. Hvis resultaterne er forskellige, har vi lavet en fejl et sted. Enten under kontrollen eller under selve additionen.
Kontrol af resultatet
At kontrollere, at vi har beregnet resultatet rigtigt, er nu let. Vi beregner den gentagne tværsum af resultatet og den gentagne tværsum af tværsummerne, og de skal give det samme. Vi tager altså vores resultat 26.188 og beregner dets gentagne tværsum:
Nu beregner vi den gentagne tværsum af vores beregnede tværsummer, altså af tallet 7198:
Vi ser, at begge gentagne tværsummer er lig med syv, kontrollen gik altså godt, og vi har regnet rigtigt!
