Trachtenberg-Methode: schnelles Addieren
Die Trachtenberg-Methode ist ein Verfahren, mit dem man mehrere Zahlen schnell addieren und anschließend mit einem anderen Verfahren überprüfen kann, ob man richtig gerechnet hat. Das Verfahren hat der russische Mathematiker Jakow Trachtenberg erfunden. Wir zeigen die Methode an einem Beispiel. Wir addieren diese drei Zahlen:
Zuerst schreiben wir die Zahlen so untereinander:
Jetzt addieren wir die Spalten, und zwar von rechts. Uns interessiert, ob die Summe größer oder gleich 11 ist. Im ersten Schritt addieren wir die letzte Spalte, d. h. wir berechnen 1 + 5 + 2 = 8. Dieses Ergebnis ist kleiner als 11, also schreiben wir die Zahl einfach unter den Strich:
Im zweiten Schritt addieren wir die zweite Spalte von rechts, d. h. 5 + 7 + 6 = 18. Die Trachtenberg-Methode besagt: Immer wenn die Summe größer oder gleich 11 ist, ziehen wir von der Summe 11 ab und merken uns, wie oft wir das tun mussten. Da 18 größer als 11 ist, rechnen wir 18 − 11 = 7. Die Sieben schreiben wir unter den Strich, und weil wir die 11 einmal abgezogen haben, notieren wir uns das eine Zeile tiefer:
Wenn wir noch einmal zur Spalte ganz rechts zurückgehen, sehen wir, dass die Summe gleich acht war und wir die 11 also kein einziges Mal abziehen mussten. Wir ergänzen daher in der Tabelle die Null:
Wir machen mit der dritten Spalte von rechts weiter und addieren 5 + 3 + 2 = 10. Vor der Zehn erschrecken wir nicht, sie ist kleiner als 11, also schreiben wir sie zusammen mit einer Null unter den Strich, weil wir 11 nicht abziehen mussten:
Nun addieren wir die vierte Spalte von rechts, also die erste Spalte. Wir sehen, dass 9 + 7 = 16 ist, und das ist schon größer als 11. Wir rechnen also 16 − 11 = 5, merken uns, dass wir die 11 schon einmal abgezogen haben, und machen mit der 5 weiter, die wir zur Zahl aus der dritten Zeile addieren, d. h. 5 + 9 = 14. Auch 14 ist größer als 11, also rechnen wir 14 − 11 = 3. Dieses Ergebnis schreiben wir unter den Strich, zusammen mit der Information, dass wir die Elf sogar zweimal abziehen mussten:
Unter dem Strich ergänzen wir noch eine Spalte mit zwei Nullen, sie wird uns später nützlich sein:
So erhalten wir bei der Trachtenberg-Methode das Ergebnis
Wir ziehen einen weiteren waagrechten Strich und addieren die beiden Zeilen der Zwischenergebnisse. Als Erstes addieren wir 8 + 0 = 8 und schreiben das Ergebnis unter den Strich:
Ab jetzt müssen wir etwas komplizierter vorgehen und die Zahlen in der Form des Buchstabens „L“ addieren. Wir addieren also die beiden Zahlen aus der vorletzten Spalte und addieren dazu die zweite Zahl aus der vorherigen Spalte, also 7 + 1 + 0 = 8:
Als Nächstes addieren wir 10 + 0 + 1 = 11. Jetzt gehen wir wie beim gewöhnlichen Addieren vor: Wir schreiben nur die letzte Ziffer 1 hin, und die Zehn kommt in die nächste Runde.
In der nächsten Runde addieren wir 3 + 2 + 0 + 1 = 6, wobei die Eins am Ende diejenige Eins ist, die in der vorherigen Runde weitergegeben wurde (d. h. für jede weitergegebene Zehn addieren wir hier eine Eins).
Und jetzt nutzen wir endlich die Spalte mit den zwei Nullen – sie ist nur dafür da, dass wir die letzte Summe 0 + 0 + 2 = 2 nicht vergessen.
Das ist unser Ergebnis, das wir mit der Trachtenberg-Methode erhalten haben. Also:
Probe der Zwischenergebnisse
Der Vorteil der Trachtenberg-Methode ist, dass wir relativ leicht überprüfen können, ob wir richtig gerechnet haben, ohne die ganze Rechnung noch einmal durchzuführen. Trachtenberg hat einen Weg gefunden, die Zwischenergebnisse und auch das Endergebnis mit einem ganz anderen Verfahren zu überprüfen. Wenn du die Summe mit der Trachtenberg-Methode berechnest und zugleich die Probe machst, kannst du dir ziemlich sicher sein, dass du richtig gerechnet hast. Versuchen wir also zu überprüfen, ob unser Ergebnis stimmt.
Unsere ganze Rechnung können wir in drei Teile gliedern. Wir haben die Summanden, die Zwischenergebnisse und das Ergebnis:
In der ersten Phase überprüfen wir, ob wir die Zwischenergebnisse richtig berechnet haben. Dazu müssen wir bei den Spalten die iterierte Quersumme bilden. Die Quersumme einer Zahl erhalten wir, indem wir alle Ziffern der Zahl addieren. Die Quersumme der Zahl 456 erhalten wir zum Beispiel so: 4 + 5 + 6 = 15. Ist das Ergebnis größer als 9, bilden wir noch einmal die Quersumme, d. h. wir berechnen noch 1 + 5 = 6. Die iterierte Quersumme der Zahl 456 ist also 6.
Jetzt kehren wir zu den Summanden zurück und berechnen die iterierte Quersumme der letzten Spalte, also der Zahl 152: Wir rechnen 1 + 5 + 2 = 8.
Als Nächstes berechnen wir die iterierte Quersumme der vorletzten Spalte, also der Zahl 576. Das ist 5 + 7 + 6 = 18, weiter erhalten wir 1 + 8 = 9.
Für die dritte Spalte von rechts erhalten wir 5 + 3 + 2 = 10, und weil die Zahl zwei Ziffern hat, erhalten wir 1 + 0 = 1:
und für die erste Spalte haben wir 9 + 7 + 9 = 25 und weiter 2 + 5 = 7:
Die resultierenden iterierten Quersummen lauten: 7198. Nun schauen wir uns die Zwischenergebnisse an:
Wir kopieren die zweite Zeile und fügen sie am Ende ein, die zweite Zeile steht dort also zweimal:
Jetzt machen wir dasselbe wie bei den Summanden. Aus jeder Spalte bilden wir eine Zahl und berechnen ihre iterierte Quersumme. Wieder können wir von hinten beginnen: Wir erhalten 8 + 0 + 0 = 8, die nächste Spalte ergibt 7 + 1 + 1 = 9, die nächste 10 + 0 + 0 = 10 und weiter 1 + 0 = 1 und zuletzt 3 + 2 + 2 = 7:
Jetzt vergleichen wir die Ergebnisse der iterierten Quersummen. Die iterierten Quersummen der Summanden haben uns die Zahl 7198 ergeben, genauso wie die der Zwischenergebnisse – wir haben also richtig gerechnet. Würden sich diese Ergebnisse unterscheiden, hätten wir irgendwo einen Fehler gemacht, entweder bei der Probe oder beim Addieren selbst.
Probe des Ergebnisses
Zu überprüfen, ob wir das Ergebnis richtig berechnet haben, ist jetzt einfach. Wir berechnen die iterierte Quersumme des Ergebnisses und die iterierte Quersumme der Quersummen, und beide müssen übereinstimmen. Wir nehmen also unser Ergebnis 26.188 und berechnen seine iterierte Quersumme:
Jetzt berechnen wir die iterierte Quersumme unserer berechneten Quersummen, also der Zahl 7198:
Wir sehen, dass beide iterierten Quersummen gleich sieben sind. Die Probe ist also gut ausgegangen, und wir haben richtig gerechnet!
