Il metodo Trachtenberg per l’addizione veloce
Il metodo Trachtenberg per l’addizione è un procedimento per sommare rapidamente più numeri e poi verificare, con un altro procedimento, se abbiamo calcolato correttamente. Il procedimento è stato ideato dal matematico russo Jakow Trachtenberg. Mostriamo il metodo con un esempio. Proviamo a sommare questi tre numeri:
Come prima cosa scriviamo i numeri uno sotto l’altro così:
Ora cominciamo a sommare le colonne, partendo da destra. Ci interessa se la somma è maggiore o uguale a 11. Nel primo passo sommiamo l’ultima colonna, cioè 1 + 5 + 2 = 8. Questo risultato è minore di 11, quindi lo scriviamo semplicemente sotto la linea:
Nel secondo passo sommiamo la seconda colonna da destra, cioè 5 + 7 + 6 = 18. Il metodo Trachtenberg dice che ogni volta che la somma è maggiore o uguale a 11, sottraiamo 11 dalla somma e ci segniamo quante volte l’abbiamo dovuto fare. Poiché 18 è maggiore di 11, sottraiamo 18 − 11 = 7. Il numero sette lo scriviamo sotto la linea e, siccome abbiamo sottratto 11 una volta, lo annotiamo una riga più in basso:
Se torniamo alla colonna precedente, quella all’estrema destra, vediamo che la somma era otto e quindi non abbiamo dovuto sottrarre 11 nemmeno una volta. Nella tabella aggiungiamo quindi uno zero:
Proseguiamo con la terza colonna da destra e sommiamo 5 + 3 + 2 = 10. Il numero dieci non ci spaventa: è minore di 11, quindi lo scriviamo sotto la linea insieme a uno zero, perché non abbiamo dovuto sottrarre 11:
E ora sommiamo la quarta colonna da destra, cioè la prima. Vediamo che 9 + 7 = 16, che è già maggiore di 11. Sottraiamo quindi 16 − 11 = 5, ci ricordiamo che abbiamo già sottratto 11 una volta e proseguiamo con il numero 5, che sommiamo al numero della terza riga, cioè calcoliamo 5 + 9 = 14. Anche quattordici è maggiore di 11, quindi sottraiamo 14 − 11 = 3. Scriviamo questo risultato sotto la linea insieme all’informazione che abbiamo dovuto sottrarre l’undici addirittura due volte:
Al risultato sotto la linea aggiungiamo ancora una colonna con due zeri, che ci servirà più tardi:
Come ottenere il risultato con il metodo Trachtenberg
Tracciamo un’altra linea orizzontale e sommiamo le due righe dei risultati intermedi. Per prima cosa sommiamo 8 + 0 = 8 e scriviamo il risultato sotto la linea:
Da questo momento dobbiamo procedere in modo più complesso e sommare i numeri disposti a forma di lettera «L». Sommiamo quindi i due numeri della penultima colonna e aggiungiamo il secondo numero della colonna precedente, cioè sommiamo 7 + 1 + 0 = 8:
Poi sommiamo 10 + 0 + 1 = 11. Ora procediamo come nella somma ordinaria: scriviamo soltanto l’ultima cifra, 1, e la decina passa al giro successivo.
Nel giro successivo sommiamo 3 + 2 + 0 + 1 = 6, dove l’1 alla fine è quello che è passato dal giro precedente (cioè per ogni decina che passa, qui aggiungiamo un 1).
E ora finalmente usiamo la colonnina con i due zeri: è lì soltanto per non dimenticarci di fare l’ultima somma 0 + 0 + 2 = 2.
Questo è il nostro risultato, ottenuto con il metodo Trachtenberg. Dunque,
Verifica dei risultati intermedi
Il vantaggio del metodo Trachtenberg è che possiamo verificare con relativa facilità se abbiamo calcolato correttamente, senza rifare tutto il calcolo. Trachtenberg ha trovato un modo per verificare i risultati intermedi e il risultato finale con un procedimento completamente diverso. Se quindi calcoli la somma con il metodo Trachtenberg e fai anche la verifica, puoi essere abbastanza sicuro di aver calcolato correttamente. Proviamo allora a verificare che il nostro risultato sia giusto.
Tutto il nostro calcolo si può dividere in tre parti. Abbiamo gli addendi, i risultati intermedi e il risultato:
Nella prima fase verifichiamo se abbiamo calcolato correttamente i risultati intermedi. Per farlo dobbiamo calcolare la radice digitale delle colonne. La radice digitale di un numero si ottiene sommando tutte le cifre del numero. Per esempio, la radice digitale del numero 456 si ottiene sommando 4 + 5 + 6 = 15. Se il risultato è maggiore di 9, ripetiamo l’operazione, cioè calcoliamo ancora 1 + 5 = 6. La radice digitale del numero 456 è quindi 6.
Torniamo ora agli addendi e calcoliamo la radice digitale dell’ultima colonna, cioè del numero 152: calcoliamo 1 + 5 + 2 = 8.
Poi calcoliamo la radice digitale della penultima colonna, cioè del numero 576, che è 5 + 7 + 6 = 18, e poi otteniamo 1 + 8 = 9.
Per la terza colonna da destra otteniamo 5 + 3 + 2 = 10; poiché il numero ha due cifre, otteniamo 1 + 0 = 1:
e per la prima colonna abbiamo 9 + 7 + 9 = 25 e poi 2 + 5 = 7:
Le radici digitali risultanti sono: 7198. Ora guardiamo i risultati intermedi:
Copiamo la seconda riga e la incolliamo in fondo, cioè la seconda riga ci sarà due volte:
Ora facciamo la stessa cosa che abbiamo fatto con gli addendi. Da ogni colonna formiamo un numero e ne calcoliamo la radice digitale. Anche qui possiamo partire dalla fine, quindi otteniamo 8 + 0 + 0 = 8, la colonna successiva ci dà 7 + 1 + 1 = 9, la successiva 10 + 0 + 0 = 10 e poi 1 + 0 = 1, e infine 3 + 2 + 2 = 7:
A questo punto confrontiamo i risultati delle radici digitali. Le radici digitali degli addendi ci hanno dato il numero 7198, e lo stesso numero ci è venuto dalle radici digitali dei risultati intermedi: abbiamo quindi calcolato correttamente. Se questi risultati fossero diversi, da qualche parte avremmo commesso un errore. O durante la verifica, o durante la somma vera e propria.
Verifica del risultato
Verificare di aver calcolato correttamente il risultato è ormai semplice. Calcoliamo la radice digitale del risultato e la radice digitale delle radici digitali, e devono venire uguali. Prendiamo dunque il nostro risultato 26.188 e calcoliamone la radice digitale:
Ora calcoliamo la radice digitale delle radici digitali che abbiamo calcolato, cioè del numero 7198:
Vediamo che entrambe le radici digitali sono uguali a sette: la verifica è andata bene e abbiamo calcolato correttamente!
