Η μέθοδος του Τράχτενμπεργκ για γρήγορη πρόσθεση
Η μέθοδος πρόσθεσης του Τράχτενμπεργκ είναι μια διαδικασία για να προσθέτεις γρήγορα αρκετούς αριθμούς και στη συνέχεια να ελέγχεις με άλλη διαδικασία αν έκανες σωστά τους υπολογισμούς. Τη διαδικασία την επινόησε ο Ρώσος μαθηματικός Γιάκοβ Τράχτενμπεργκ. Θα δούμε τη μέθοδο σε ένα παράδειγμα. Ας προσθέσουμε αυτούς τους τρεις αριθμούς:
Πρώτα γράφουμε τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλον ως εξής:
Τώρα αρχίζουμε να προσθέτουμε τις στήλες, ξεκινώντας από τα δεξιά. Μας ενδιαφέρει αν το άθροισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το 11. Στο πρώτο βήμα προσθέτουμε την τελευταία στήλη, δηλ. 1 + 5 + 2 = 8. Το αποτέλεσμα είναι μικρότερο από 11, οπότε απλώς το γράφουμε κάτω από τη γραμμή:
Στο δεύτερο βήμα προσθέτουμε τη δεύτερη στήλη από τα δεξιά, δηλ. 5 + 7 + 6 = 18. Η μέθοδος του Τράχτενμπεργκ λέει ότι όποτε το άθροισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 11, αφαιρούμε από το άθροισμα το 11 και θυμόμαστε πόσες φορές το κάναμε. Επειδή το 18 είναι μεγαλύτερο από 11, αφαιρούμε 18 − 11 = 7. Το επτά το γράφουμε κάτω από τη γραμμή και, επειδή αφαιρέσαμε το 11 μία φορά, το σημειώνουμε μία γραμμή πιο κάτω:
Αν γυρίσουμε στην προηγούμενη στήλη, τη δεξιότερη, βλέπουμε ότι το άθροισμα ήταν οκτώ, άρα δεν χρειάστηκε να αφαιρέσουμε το 11 ούτε μία φορά. Συμπληρώνουμε λοιπόν στον πίνακα το μηδέν:
Συνεχίζουμε με την τρίτη στήλη από τα δεξιά και προσθέτουμε 5 + 3 + 2 = 10. Το δέκα δεν μας τρομάζει, είναι αριθμός μικρότερος από 11, οπότε το γράφουμε κάτω από τη γραμμή μαζί με το μηδέν, αφού δεν χρειάστηκε να αφαιρέσουμε το 11:
Και τώρα προσθέτουμε την τέταρτη στήλη από τα δεξιά, δηλ. την πρώτη στήλη. Βλέπουμε ότι 9 + 7 = 16, που είναι ήδη μεγαλύτερο από 11. Αφαιρούμε λοιπόν 16 − 11 = 5, θυμόμαστε ότι αφαιρέσαμε το 11 ήδη μία φορά και συνεχίζουμε με τον αριθμό 5, τον οποίο προσθέτουμε με τον αριθμό από την τρίτη γραμμή, δηλ. υπολογίζουμε 5 + 9 = 14. Και το δεκατέσσερα είναι μεγαλύτερο από 11, οπότε αφαιρούμε 14 − 11 = 3. Αυτό το αποτέλεσμα το γράφουμε κάτω από τη γραμμή μαζί με την πληροφορία ότι χρειάστηκε να αφαιρέσουμε το έντεκα μάλιστα δύο φορές:
Στο αποτέλεσμα κάτω από τη γραμμή προσθέτουμε ακόμη μία στήλη με δύο μηδενικά· αργότερα θα μας χρειαστεί:
Πώς βρίσκουμε το αποτέλεσμα με τη μέθοδο του Τράχτενμπεργκ
Τραβάμε μια ακόμη οριζόντια γραμμή και προσθέτουμε τις δύο γραμμές των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Πρώτα προσθέτουμε 8 + 0 = 8 και γράφουμε το αποτέλεσμα κάτω από τη γραμμή:
Από εδώ και πέρα πρέπει να προχωράμε πιο σύνθετα και να προσθέτουμε αριθμούς σε σχήμα του γράμματος «L». Προσθέτουμε λοιπόν τους δύο αριθμούς της προτελευταίας στήλης και σε αυτούς τον δεύτερο αριθμό της προηγούμενης στήλης, δηλ. προσθέτουμε 7 + 1 + 0 = 8:
Στη συνέχεια προσθέτουμε 10 + 0 + 1 = 11. Τώρα προχωράμε όπως στη συνηθισμένη πρόσθεση: γράφουμε μόνο το τελευταίο ψηφίο 1 και η δεκάδα περνάει στον επόμενο γύρο.
Στον επόμενο γύρο προσθέτουμε 3 + 2 + 0 + 1 = 6, όπου το 1 στο τέλος είναι το κρατούμενο από τον προηγούμενο γύρο (δηλ. για κάθε δεκάδα που πέρασε παρακάτω, εδώ προσθέτουμε ένα).
Και τώρα επιτέλους χρησιμοποιούμε εκείνη τη στήλη με τα δύο μηδενικά – υπάρχει μόνο για να μην ξεχάσουμε να κάνουμε το τελευταίο άθροισμα 0 + 0 + 2 = 2.
Αυτό είναι το αποτέλεσμά μας, που το βρήκαμε με τη μέθοδο του Τράχτενμπεργκ. Δηλαδή,
Έλεγχος των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων
Το πλεονέκτημα της μεθόδου του Τράχτενμπεργκ είναι ότι μπορούμε σχετικά εύκολα να ελέγξουμε αν κάναμε σωστά τους υπολογισμούς, χωρίς να επαναλάβουμε ολόκληρη την πράξη. Ο Τράχτενμπεργκ βρήκε τρόπο να ελέγχει τα ενδιάμεσα αποτελέσματα και το τελικό αποτέλεσμα με εντελώς διαφορετική διαδικασία. Αν λοιπόν υπολογίσεις το άθροισμα με τη μέθοδο του Τράχτενμπεργκ και ταυτόχρονα κάνεις και τον έλεγχο, μπορείς να είσαι αρκετά σίγουρος ότι έκανες σωστά τους υπολογισμούς. Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να ελέγξουμε ότι το αποτέλεσμά μας είναι σωστό.
Ολόκληρος ο υπολογισμός μας χωρίζεται σε τρία μέρη. Έχουμε τους προσθετέους, τα ενδιάμεσα αποτελέσματα και το αποτέλεσμα:
Στην πρώτη φάση θα ελέγξουμε αν υπολογίσαμε σωστά τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. Για αυτό πρέπει να βρούμε την ψηφιακή ρίζα των στηλών. Την ψηφιακή ρίζα ενός αριθμού τη βρίσκουμε προσθέτοντας όλα τα ψηφία του αριθμού. Για παράδειγμα, την ψηφιακή ρίζα του αριθμού 456 τη βρίσκουμε προσθέτοντας 4 + 5 + 6 = 15. Αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από 9, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, δηλ. υπολογίζουμε ακόμη 1 + 5 = 6. Η ψηφιακή ρίζα του αριθμού 456 είναι λοιπόν 6.
Τώρα γυρίζουμε στους προσθετέους και υπολογίζουμε την ψηφιακή ρίζα της τελευταίας στήλης, δηλ. του αριθμού 152: υπολογίζουμε 1 + 5 + 2 = 8.
Στη συνέχεια υπολογίζουμε την ψηφιακή ρίζα της προτελευταίας στήλης, δηλ. του αριθμού 576, που είναι 5 + 7 + 6 = 18, και μετά παίρνουμε 1 + 8 = 9.
Για την τρίτη στήλη από τα δεξιά παίρνουμε 5 + 3 + 2 = 10 και, επειδή ο αριθμός έχει δύο ψηφία, βρίσκουμε 1 + 0 = 1:
και για την πρώτη στήλη έχουμε 9 + 7 + 9 = 25 και μετά 2 + 5 = 7:
Οι ψηφιακές ρίζες που βρήκαμε είναι: 7198. Τώρα ας δούμε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα:
Αντιγράφουμε τη δεύτερη γραμμή και την προσθέτουμε στο τέλος, δηλαδή η δεύτερη γραμμή θα εμφανίζεται δύο φορές:
Τώρα κάνουμε το ίδιο όπως με τους προσθετέους. Από κάθε στήλη σχηματίζουμε αριθμό και βρίσκουμε την ψηφιακή του ρίζα. Πάλι μπορούμε να ξεκινήσουμε από το τέλος, οπότε παίρνουμε 8 + 0 + 0 = 8, η επόμενη στήλη δίνει 7 + 1 + 1 = 9, η επόμενη 10 + 0 + 0 = 10 και μετά 1 + 0 = 1 και τέλος 3 + 2 + 2 = 7:
Τώρα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα των ψηφιακών ριζών. Οι ψηφιακές ρίζες των προσθετέων μας έδωσαν τον αριθμό 7198, ακριβώς όπως και οι ψηφιακές ρίζες των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων – άρα οι υπολογισμοί μας ήταν σωστοί. Αν τα αποτελέσματα διέφεραν, κάπου έχουμε κάνει λάθος. Είτε κατά τον έλεγχο είτε κατά την ίδια την πρόσθεση.
Έλεγχος του αποτελέσματος
Να ελέγξουμε ότι υπολογίσαμε σωστά το αποτέλεσμα είναι πια απλό. Υπολογίζουμε την ψηφιακή ρίζα του αποτελέσματος και την ψηφιακή ρίζα των ψηφιακών ριζών και πρέπει να βγουν ίδιες. Παίρνουμε λοιπόν το αποτέλεσμά μας 26188 και υπολογίζουμε την ψηφιακή του ρίζα:
Τώρα υπολογίζουμε την ψηφιακή ρίζα των ψηφιακών ριζών που βρήκαμε, δηλ. του αριθμού 7198:
Βλέπουμε ότι και οι δύο ψηφιακές ρίζες είναι ίσες με επτά, άρα ο έλεγχος πέτυχε και οι υπολογισμοί μας ήταν σωστοί!
