Méthode de Trachtenberg pour additionner rapidement
La méthode d’addition de Trachtenberg est un procédé qui permet d’additionner rapidement plusieurs nombres, puis de vérifier par une autre méthode si l’on a bien calculé. Elle a été inventée par le mathématicien russe Jakow Trachtenberg. Voyons la méthode sur un exemple. Essayons d’additionner ces trois nombres :
Commençons par écrire les nombres les uns sous les autres :
Additionnons maintenant les colonnes, en commençant par la droite. Ce qui nous intéresse, c’est de savoir si la somme est supérieure ou égale à 11. À la première étape, on additionne la dernière colonne, c’est-à-dire 1 + 5 + 2 = 8. Ce résultat est inférieur à 11, donc on l’écrit simplement sous le trait :
À la deuxième étape, on additionne la deuxième colonne en partant de la droite, c’est-à-dire 5 + 7 + 6 = 18. La méthode de Trachtenberg dit que, chaque fois que la somme est supérieure ou égale à 11, on retire 11 de la somme et on retient combien de fois on a dû le faire. Comme 18 est supérieur à 11, on calcule 18 − 11 = 7. On écrit le nombre sept sous le trait et, puisqu’on a retiré 11 une fois, on le note une ligne plus bas :
Si l’on revient à la colonne précédente, tout à droite, on voit que la somme était égale à huit, donc on n’a eu à retirer 11 aucune fois. On complète donc le tableau avec un zéro :
On continue avec la troisième colonne en partant de la droite et on calcule 5 + 3 + 2 = 10. Le nombre dix ne nous fait pas peur : il est inférieur à 11, donc on l’écrit sous le trait avec un zéro en dessous, puisqu’on n’a pas eu à retirer 11 :
Et maintenant, on additionne la quatrième colonne en partant de la droite, c’est-à-dire la première colonne. On voit que 9 + 7 = 16, ce qui est déjà supérieur à 11. On retire donc 16 − 11 = 5, on retient qu’on a déjà retiré 11 une fois et on continue avec le nombre 5, qu’on additionne au nombre de la troisième ligne, c’est-à-dire qu’on calcule 5 + 9 = 14. Le nombre quatorze est lui aussi supérieur à 11, donc on retire 14 − 11 = 3. On écrit ce résultat sous le trait, avec l’information qu’on a dû retirer onze deux fois en tout :
Dans le résultat sous le trait, on ajoute encore une colonne avec deux zéros, elle nous servira plus tard :
Comment obtenir le résultat avec la méthode de Trachtenberg
On trace un autre trait horizontal et on additionne les deux lignes de résultats intermédiaires. On commence par calculer 8 + 0 = 8 et on écrit le résultat sous le trait :
À partir de maintenant, il faut procéder de façon un peu plus compliquée et additionner les nombres disposés en forme de « L ». On additionne donc les deux nombres de l’avant-dernière colonne et on leur ajoute le second nombre de la colonne précédente, c’est-à-dire qu’on calcule 7 + 1 + 0 = 8 :
Ensuite, on calcule 10 + 0 + 1 = 11. On procède maintenant comme dans une addition ordinaire : on n’écrit que le dernier chiffre, 1, et la dizaine est reportée à la colonne suivante.
À la colonne suivante, on calcule 3 + 2 + 0 + 1 = 6, où le 1 à la fin est la retenue de la colonne précédente (c’est-à-dire que pour chaque dizaine reportée, on ajoute ici un 1).
Et maintenant, on utilise enfin la petite colonne avec deux zéros – elle est là uniquement pour qu’on n’oublie pas de faire la dernière addition 0 + 0 + 2 = 2.
Voilà le résultat obtenu avec la méthode de Trachtenberg. Donc,
Vérification des résultats intermédiaires
L’avantage de la méthode de Trachtenberg est qu’on peut vérifier assez facilement si l’on a bien calculé, sans refaire tout le calcul. Trachtenberg a trouvé un moyen de vérifier les résultats intermédiaires et le résultat final par un procédé complètement différent. Si tu calcules la somme avec la méthode de Trachtenberg et que tu fais en plus cette vérification, tu peux être presque sûr d’avoir bien calculé. Essayons donc de vérifier que notre résultat est correct.
Tout notre calcul peut être divisé en trois parties. Il y a les termes, les résultats intermédiaires et le résultat :
Dans un premier temps, on vérifie si l’on a bien calculé les résultats intermédiaires. Pour cela, il faut calculer la racine numérique des colonnes. On obtient la racine numérique d’un nombre en additionnant tous ses chiffres. Par exemple, pour obtenir la racine numérique du nombre 456, on additionne 4 + 5 + 6 = 15. Si le résultat est supérieur à 9, on recommence, c’est-à-dire qu’on calcule encore 1 + 5 = 6. La racine numérique de 456 est donc égale à 6.
Revenons maintenant aux termes et calculons la racine numérique de la dernière colonne, c’est-à-dire du nombre 152 : on calcule 1 + 5 + 2 = 8.
Calculons ensuite la racine numérique de l’avant-dernière colonne, c’est-à-dire du nombre 576, ce qui donne 5 + 7 + 6 = 18, puis 1 + 8 = 9.
Pour la troisième colonne en partant de la droite, on obtient 5 + 3 + 2 = 10 et, comme ce nombre a deux chiffres, on calcule 1 + 0 = 1 :
et pour la première colonne, on a 9 + 7 + 9 = 25, puis 2 + 5 = 7 :
Les racines numériques obtenues sont : 7198. Regardons maintenant les résultats intermédiaires :
On copie la deuxième ligne et on la place à la fin, de sorte que la deuxième ligne apparaisse deux fois :
Maintenant, on fait la même chose qu’avec les termes. Avec chaque colonne, on forme un nombre dont on calcule la racine numérique. On peut là aussi commencer par la fin : on obtient 8 + 0 + 0 = 8, la colonne suivante donne 7 + 1 + 1 = 9, la suivante 10 + 0 + 0 = 10, puis 1 + 0 = 1, et enfin 3 + 2 + 2 = 7 :
On compare maintenant les racines numériques obtenues. Celles des termes nous ont donné le nombre 7198, tout comme celles des résultats intermédiaires – on a donc bien calculé. Si ces résultats étaient différents, on aurait fait une erreur quelque part, soit pendant la vérification, soit pendant l’addition elle-même.
Vérification du résultat
Vérifier qu’on a bien calculé le résultat est maintenant simple. On calcule la racine numérique du résultat et la racine numérique des racines numériques, et on doit trouver la même chose. Prenons donc notre résultat 26 188 et calculons sa racine numérique :
Calculons maintenant la racine numérique de nos racines numériques, c’est-à-dire celle du nombre 7198 :
On voit que les deux racines numériques sont égales à sept : la vérification est donc concluante et on a bien calculé !
