Trachtenbergs snabbmetod för addition
Trachtenbergs additionsmetod är ett sätt att snabbt addera flera tal och sedan med en annan metod kontrollera att vi räknade rätt. Metoden uppfanns av den ryske matematikern Jakow Trachtenberg. Vi visar den med ett exempel. Vi ska addera de här tre talen:
Först skriver vi talen under varandra så här:
Nu börjar vi addera kolumnerna, och vi börjar från höger. Vi tittar på om summan är större än eller lika med 11. I första steget adderar vi sista kolumnen, dvs. 1 + 5 + 2 = 8. Det är mindre än 11, så vi skriver bara talet under strecket:
I andra steget adderar vi andra kolumnen från höger, dvs. 5 + 7 + 6 = 18. Trachtenbergs metod säger att varje gång summan är större än eller lika med 11 drar vi bort 11 från summan och kommer ihåg hur många gånger vi gjorde det. Eftersom 18 är större än 11 räknar vi 18 − 11 = 7. Talet sju skriver vi under strecket, och eftersom vi drog bort 11 en gång noterar vi det en rad längre ned:
Om vi går tillbaka till kolumnen längst till höger ser vi att summan var åtta, så vi behövde inte dra bort 11 någon gång. Vi fyller alltså i talet noll i tabellen:
Vi fortsätter med tredje kolumnen från höger och adderar 5 + 3 + 2 = 10. Tio är inget att vara rädd för, det är mindre än 11, så vi skriver det under strecket tillsammans med en nolla, eftersom vi inte behövde dra bort 11:
Nu adderar vi fjärde kolumnen från höger, dvs. den första kolumnen. Vi ser att 9 + 7 = 16, vilket redan är större än 11. Vi räknar alltså 16 − 11 = 5, kommer ihåg att vi redan en gång har dragit bort 11 och fortsätter med talet 5, som vi adderar till talet på tredje raden, dvs. vi räknar 5 + 9 = 14. Även fjorton är större än 11, så vi räknar 14 − 11 = 3. Det här resultatet skriver vi under strecket tillsammans med informationen att vi var tvungna att dra bort elva hela två gånger:
Till resultatet under strecket lägger vi till ytterligare en kolumn med två nollor, den kommer vi att ha nytta av senare:
Så får du resultatet med Trachtenbergs metod
Vi gör ytterligare ett vågrätt streck och adderar de två raderna med delresultat. Först adderar vi alltså 8 + 0 = 8 och skriver resultatet under strecket:
Från och med nu måste vi gå tillväga lite mer komplicerat och addera talen i form av bokstaven ”L”. Vi adderar alltså de två talen i näst sista kolumnen och lägger till det andra talet från föregående kolumn, dvs. vi adderar 7 + 1 + 0 = 8:
Sedan adderar vi 10 + 0 + 1 = 11. Nu gör vi som vid vanlig addition: vi skriver bara sista siffran 1, och tiotalet går vidare till nästa varv.
I nästa varv adderar vi 3 + 2 + 0 + 1 = 6, där ettan sist är den som gick vidare i föregående varv (dvs. för varje tiotal som går vidare lägger vi till en etta här).
Och nu använder vi äntligen kolumnen med de två nollorna — den finns bara där för att vi inte ska glömma den sista additionen 0 + 0 + 2 = 2.
Det här är vårt resultat med Trachtenbergs metod. Alltså,
Kontroll av delresultaten
Fördelen med Trachtenbergs metod är att vi relativt enkelt kan kontrollera om vi räknade rätt, utan att göra hela uträkningen igen. Trachtenberg hittade ett sätt att kontrollera både delresultaten och slutresultatet med en helt annan metod. Om du alltså beräknar summan med Trachtenbergs metod och dessutom gör kontrollen kan du vara ganska säker på att du räknade rätt. Vi försöker kontrollera att vårt resultat stämmer.
Hela uträkningen kan vi dela upp i tre delar. Vi har termerna, delresultaten och resultatet:
I första fasen kontrollerar vi om vi räknade ut delresultaten rätt. För det måste vi bilda den upprepade siffersumman av kolumnerna. Den upprepade siffersumman av ett tal får vi genom att addera alla siffror i talet. Till exempel får vi den upprepade siffersumman av talet 456 genom att addera 4 + 5 + 6 = 15. Om resultatet är större än 9 upprepar vi och räknar ut 1 + 5 = 6. Den upprepade siffersumman av talet 456 är alltså 6.
Nu går vi tillbaka till termerna och beräknar den upprepade siffersumman för sista kolumnen, dvs. för talet 152 räknar vi 1 + 5 + 2 = 8.
Sedan beräknar vi den upprepade siffersumman för näst sista kolumnen, dvs. för talet 576, vilket är 5 + 7 + 6 = 18, och sedan får vi 1 + 8 = 9.
För tredje kolumnen från höger får vi 5 + 3 + 2 = 10, och eftersom talet har två siffror får vi 1 + 0 = 1:
och för första kolumnen har vi 9 + 7 + 9 = 25 och sedan 2 + 5 = 7:
De upprepade siffersummorna blir: 7198. Nu tittar vi på delresultaten:
Vi kopierar andra raden och sätter in den längst ned, så att andra raden finns där två gånger:
Nu gör vi samma sak som med termerna. Av varje kolumn bildar vi ett tal och beräknar dess upprepade siffersumma. Vi kan återigen börja från slutet, så vi får 8 + 0 + 0 = 8, nästa kolumn ger 7 + 1 + 1 = 9, nästa 10 + 0 + 0 = 10 och sedan 1 + 0 = 1, och till sist 3 + 2 + 2 = 7:
Nu jämför vi de upprepade siffersummorna. De upprepade siffersummorna för termerna gav talet 7198, precis som de för delresultaten — vi räknade alltså rätt. Om resultaten hade skilt sig åt hade vi gjort ett fel någonstans. Antingen under kontrollen eller under själva additionen.
Kontroll av resultatet
Att kontrollera att vi räknade ut resultatet rätt är nu enkelt. Vi beräknar den upprepade siffersumman av resultatet och den upprepade siffersumman av de upprepade siffersummorna, och de måste bli lika. Alltså tar vi vårt resultat 26 188 och beräknar dess upprepade siffersumma:
Nu beräknar vi den upprepade siffersumman av våra beräknade upprepade siffersummor, dvs. av talet 7198:
Vi ser att båda de upprepade siffersummorna är lika med sju, kontrollen gick alltså bra och vi räknade rätt!
