Metoda Trachtenberg de adunare rapidă
Metoda de adunare a lui Trachtenberg este un procedeu prin care aduni repede mai multe numere și apoi verifici, cu un alt procedeu, dacă ai calculat corect. Procedeul a fost conceput de matematicianul rus Jakow Trachtenberg. Îl vom învăța pe un exemplu. Încercăm să adunăm aceste trei numere:
Mai întâi scriem numerele unul sub altul, așa:
Acum începem să adunăm coloanele, de la dreapta la stânga. Ne interesează dacă suma este mai mare sau egală cu 11. În primul pas adunăm ultima coloană, adică 1 + 5 + 2 = 8. Rezultatul este mai mic decât 11, așa că îl scriem doar sub linie:
În al doilea pas adunăm a doua coloană de la dreapta, adică 5 + 7 + 6 = 18. Metoda lui Trachtenberg spune că, oricând suma este mai mare sau egală cu 11, scădem 11 din ea și ținem minte de câte ori a trebuit să o facem. Cum 18 este mai mare decât 11, scădem 18 − 11 = 7. Scriem 7 sub linie și, fiindcă am scăzut 11 o singură dată, notăm asta pe rândul de mai jos:
Dacă ne întoarcem la coloana din extrema dreaptă, vedem că suma a fost 8, deci n-a trebuit să scădem 11 niciodată. Completăm deci în tabel cifra 0:
Continuăm cu a treia coloană de la dreapta și adunăm 5 + 3 + 2 = 10. De 10 nu ne speriem, este mai mic decât 11, așa că îl scriem sub linie împreună cu un 0, pentru că n-a trebuit să scădem 11:
Acum adunăm a patra coloană de la dreapta, adică prima coloană. Vedem că 9 + 7 = 16, ceea ce este deja mai mare decât 11. Scădem deci 16 − 11 = 5, ținem minte că am scăzut 11 o dată și continuăm cu numărul 5, pe care îl adunăm cu numărul de pe al treilea rând, adică 5 + 9 = 14. Și 14 este mai mare decât 11, așa că scădem 14 − 11 = 3. Scriem rezultatul sub linie, împreună cu informația că a trebuit să scădem 11 chiar de două ori:
Sub linie mai adăugăm o coloană cu două zerouri, ne va folosi mai târziu:
Cum obținem rezultatul cu metoda lui Trachtenberg
Tragem încă o linie orizontală și adunăm cele două rânduri de rezultate intermediare. Mai întâi adunăm 8 + 0 = 8 și scriem rezultatul sub linie:
De acum încolo trebuie să procedăm mai complicat și să adunăm numerele în forma literei „L”. Adunăm deci cele două numere din penultima coloană și adăugăm și al doilea număr din coloana precedentă, adică 7 + 1 + 0 = 8:
Mai departe adunăm 10 + 0 + 1 = 11. Acum procedăm ca la adunarea obișnuită: scriem doar ultima cifră, 1, iar zecea trece în runda următoare.
În runda următoare adunăm 3 + 2 + 0 + 1 = 6, unde 1 de la sfârșit este cel care a trecut mai departe în runda precedentă (adică pentru fiecare zece care trece mai departe adăugăm aici un 1).
Și acum folosim în sfârșit coloana aceea cu două zerouri – este acolo doar ca să nu uităm să facem ultima sumă 0 + 0 + 2 = 2.
Acesta este rezultatul obținut cu metoda lui Trachtenberg. Așadar,
Verificarea rezultatelor intermediare
Avantajul metodei lui Trachtenberg este că putem verifica relativ ușor dacă am calculat corect, fără să refacem tot calculul. Trachtenberg a găsit un mod de a verifica atât rezultatele intermediare, cât și rezultatul final, cu un procedeu complet diferit. Dacă faci adunarea cu metoda lui Trachtenberg și faci și verificarea, poți fi destul de sigur că ai calculat corect. Hai să verificăm că rezultatul nostru este corect.
Întregul calcul îl putem împărți în trei părți. Avem termenii, rezultatele intermediare și rezultatul:
În prima fază verificăm dacă am calculat corect rezultatele intermediare. Pentru asta trebuie să calculăm cifra de control a coloanelor. Cifra de control a unui număr o obținem adunând toate cifrele lui. De exemplu, pentru numărul 456 adunăm 4 + 5 + 6 = 15. Dacă rezultatul este mai mare decât 9, repetăm operația, adică mai calculăm 1 + 5 = 6. Cifra de control a lui 456 este deci 6.
Ne întoarcem acum la termeni și calculăm cifra de control a ultimei coloane, adică a numărului 152: 1 + 5 + 2 = 8.
Apoi calculăm cifra de control a penultimei coloane, adică a numărului 576, unde 5 + 7 + 6 = 18, iar mai departe 1 + 8 = 9.
Pentru a treia coloană de la dreapta obținem 5 + 3 + 2 = 10 și, fiindcă numărul are două cifre, 1 + 0 = 1:
iar pentru prima coloană avem 9 + 7 + 9 = 25 și mai departe 2 + 5 = 7:
Cifrele de control rezultate formează numărul 7198. Ne uităm acum la rezultatele intermediare:
Copiem al doilea rând și îl punem la sfârșit, deci al doilea rând va apărea de două ori:
Acum facem același lucru ca la termeni. Din fiecare coloană formăm un număr și îi calculăm cifra de control. Putem începe iar de la sfârșit, așa că obținem 8 + 0 + 0 = 8, următoarea coloană ne dă 7 + 1 + 1 = 9, următoarea 10 + 0 + 0 = 10 și apoi 1 + 0 = 1, iar la final 3 + 2 + 2 = 7:
Acum comparăm rezultatele. Cifrele de control ale termenilor ne-au dat numărul 7198, la fel ca cifrele de control ale rezultatelor intermediare – deci am calculat corect. Dacă rezultatele ar fi diferit, am greșit undeva: fie în timpul verificării, fie în timpul adunării propriu-zise.
Verificarea rezultatului
Verificarea faptului că am calculat corect rezultatul este acum simplă. Calculăm cifra de control a rezultatului și cifra de control a cifrelor de control de mai sus, iar ele trebuie să iasă la fel. Deci luăm rezultatul nostru 26.188 și îi calculăm cifra de control:
Acum calculăm cifra de control a cifrelor noastre de control, adică a numărului 7198:
Vedem că ambele cifre de control sunt egale cu 7, deci verificarea a ieșit bine și am calculat corect!
