A Trachtenberg-féle gyorsösszeadás
A Trachtenberg-féle összeadás egy eljárás, amellyel gyorsan összeadhatunk több számot, majd egy másik eljárással ellenőrizhetjük, hogy jól számoltunk-e. Az eljárást Jakow Trachtenberg orosz matematikus találta ki. A módszert egy példán mutatjuk be. Adjuk össze ezt a három számot:
Először írjuk a számokat egymás alá így:
Most kezdjük el összeadni az oszlopokat, jobbról indulva. Azt figyeljük, hogy az összeg legalább 11-e vagy sem. Az első lépésben az utolsó oszlopot adjuk össze, vagyis 1 + 5 + 2 = 8. Ez kisebb, mint 11, ezért a számot csak a vonal alá írjuk:
A második lépésben a jobbról második oszlopot adjuk össze, vagyis 5 + 7 + 6 = 18. A Trachtenberg-módszer szerint valahányszor az összeg legalább 11, kivonunk belőle 11-et, és megjegyezzük, hogy ezt hányszor kellett megtennünk. Mivel a 18 nagyobb, mint 11, kivonunk belőle: 18 − 11 = 7. A hetest a vonal alá írjuk, és mivel a 11-et egyszer vontuk ki, ezt egy sorral lejjebb feljegyezzük:
Ha visszatérünk a legutolsó, jobb szélső oszlophoz, látjuk, hogy az összeg nyolc volt, tehát a 11-et egyszer sem kellett kivonnunk. A táblázatba ezért nullát írunk:
Folytatjuk a jobbról harmadik oszloppal, és összeadjuk: 5 + 3 + 2 = 10. A tíztől nem kell megijednünk, kisebb, mint 11, ezért a vonal alá írjuk, mellé pedig a nullát, mert nem kellett 11-et kivonnunk:
Most a jobbról negyedik, vagyis az első oszlop jön. Látjuk, hogy 9 + 7 = 16, ami már nagyobb, mint 11. Kivonunk: 16 − 11 = 5, megjegyezzük, hogy a 11-et már egyszer kivontuk, és az 5-tel folytatjuk: hozzáadjuk a harmadik sor számát, vagyis 5 + 9 = 14. A tizennégy is nagyobb, mint 11, ezért kivonunk: 14 − 11 = 3. Ezt az eredményt a vonal alá írjuk, mellé pedig azt, hogy a tizenegyet összesen kétszer kellett kivonnunk:
A vonal alatti eredményt még kiegészítjük egy oszloppal, amelyben két nulla áll, később még hasznos lesz:
Hogyan kapjuk meg az eredményt a Trachtenberg-módszerrel
Húzunk egy újabb vízszintes vonalat, és összeadjuk a két részeredménysort. Először összeadjuk: 8 + 0 = 8, és az eredményt a vonal alá írjuk:
Innentől bonyolultabban kell haladnunk: az „L” betű alakjában álló számokat adjuk össze. Összeadjuk tehát az utolsó előtti oszlop két számát, és hozzáadjuk az előző oszlop második számát, azaz 7 + 1 + 0 = 8:
Ezután: 10 + 0 + 1 = 11. Most úgy járunk el, mint a hagyományos összeadásnál: csak az utolsó számjegyet, az 1-et írjuk le, a tízes pedig átkerül a következő körbe.
A következő körben összeadjuk: 3 + 2 + 0 + 1 = 6, ahol a végén álló egyes az az egyes, amely az előző körben átkerült (vagyis minden átvitt tízesért itt hozzáadunk egyet).
És most végre felhasználjuk a két nullát tartalmazó oszlopot – csak azért van ott, hogy ne felejtsük el elvégezni az utolsó összeadást: 0 + 0 + 2 = 2.
Ez az eredményünk, amelyet a Trachtenberg-módszerrel kaptunk. Tehát
A részeredmények ellenőrzése
A Trachtenberg-módszer előnye, hogy viszonylag könnyen ellenőrizhetjük, jól számoltunk-e, anélkül, hogy az egész számítást elölről elvégeznénk. Trachtenberg talált egy módot arra, hogy a részeredményeket és a végeredményt is egészen más eljárással ellenőrizzük. Ha tehát kiszámítod az összeget a Trachtenberg-módszerrel, és ellenőrzést is végzel, elég nagy biztonsággal tudhatod, hogy jól számoltál. Próbáljuk meg tehát ellenőrizni, hogy az eredményünk helyes-e.
A teljes számításunkat három részre oszthatjuk. Vannak az összeadandók, a részeredmények és az eredmény:
Az első fázisban azt ellenőrizzük, hogy jól számoltuk-e ki a részeredményeket. Ehhez ki kell számítanunk az oszlopok ismételt számjegyösszegét. Egy szám ismételt számjegyösszegét úgy kapjuk, hogy összeadjuk a szám összes számjegyét. Például a 456 ismételt számjegyösszegét úgy kapjuk, hogy összeadjuk: 4 + 5 + 6 = 15. Ha az eredmény nagyobb, mint 9, ennek is összeadjuk a számjegyeit, vagyis kiszámoljuk még: 1 + 5 = 6. A 456 ismételt számjegyösszege tehát 6.
Most térjünk vissza az összeadandókhoz, és számítsuk ki az utolsó oszlop ismételt számjegyösszegét, vagyis a 152 ismételt számjegyösszegét: 1 + 5 + 2 = 8.
Ezután az utolsó előtti oszlop, vagyis az 576 ismételt számjegyösszegét számítjuk ki: 5 + 7 + 6 = 18, majd 1 + 8 = 9.
A jobbról harmadik oszlopra 5 + 3 + 2 = 10 adódik, és mivel a szám kétjegyű, még: 1 + 0 = 1:
Az első oszlopra pedig 9 + 7 + 9 = 25, majd 2 + 5 = 7:
A kapott ismételt számjegyösszegek: 7198. Most nézzük meg a részeredményeket:
Lemásoljuk a második sort, és a végére illesztjük, tehát a második sor kétszer fog szerepelni:
Most ugyanazt tesszük, mint az összeadandókkal. Minden oszlopból számot képezünk, és kiszámítjuk az ismételt számjegyösszegét. Itt is kezdhetjük a végén, így 8 + 0 + 0 = 8, a következő oszlop 7 + 1 + 1 = 9, a következő 10 + 0 + 0 = 10, majd 1 + 0 = 1, végül 3 + 2 + 2 = 7:
Most összehasonlítjuk az ismételt számjegyösszegeket. Az összeadandók ismételt számjegyösszegei a 7198 számot adták, ugyanúgy, mint a részeredményeké – tehát jól számoltunk. Ha ezek az eredmények eltérnének, valahol hibát követtünk el. Vagy az ellenőrzés közben, vagy magában az összeadásban.
Az eredmény ellenőrzése
Annak ellenőrzése, hogy az eredményt jól számoltuk-e ki, innen már egyszerű. Kiszámítjuk az eredmény ismételt számjegyösszegét és az ismételt számjegyösszegek ismételt számjegyösszegét, és ezeknek meg kell egyezniük. Vegyük tehát az eredményünket, a 26 188 számot, és számítsuk ki az ismételt számjegyösszegét:
Most számítsuk ki a kiszámolt ismételt számjegyösszegeink ismételt számjegyösszegét, vagyis a 7198 ismételt számjegyösszegét:
Látjuk, hogy mindkét ismételt számjegyösszeg hétnek adódik, az ellenőrzés tehát sikerült, és jól számoltunk!
