Рівносильні перетворення нерівностей

Перетворюючи нерівності, ми користуємося рівносильними перетвореннями. Їхня ознака в тому, що вони не змінюють розв'язків нерівності. Мета рівносильних перетворень — привести нерівність до якогось простішого вигляду, з якого вже можна обчислити розв'язок.

Що таке нерівність

Маємо дві функції f(x) і g(x). Нерівністю називаємо вираз одного з таких виглядів:

$$\begin{eqnarray} f(x) < g(x),&\quad& f(x) > g(x)\\ f(x)\le g(x),&\quad& f(x)\ge g(x) \end{eqnarray}$$

Розв'язками нерівності є всі x з (зазвичай) множини дійсних чисел, для яких нерівність виконується. Приклад нерівності: 6x<12. Тут f(x) = 6x і g(x) = 12. 6x — ліва частина нерівності, 12 — права. Розв'язками цієї нерівності є всі x, що менші за два: x<2. Тобто інтервал (−∞; 2).

Заміна частин місцями зі зміною знака

У рівняннях ми могли без остраху поміняти праву частину з лівою. У нерівностях так робити не можна. Наприклад, маємо нерівність x<5, тоді не може одночасно виконуватися 5 < x. У першому випадку x менший за п'ять, у другому x більший за п'ять. Проте якщо разом із заміною частин ми змінимо й знак нерівності, це вже буде рівносильне перетворення.

Отже, якщо маємо нерівність f(x) < g(x), то можемо також записати g(x) > f(x). Ми поміняли частини місцями, але водночас замість < написали >. Аналогічно для «менше або дорівнює»: нерівність f(x)≤ g(x) можна перетворити на g(x)≥ f(x).

Додавання виразу

До нерівності можна додати число або функцію, яка визначена на тій самій множині, на якій ми розв'язуємо нерівність. Приклад: маємо нерівність x>0. До цієї нерівності можна додати, скажімо, число три. Отримаємо нерівність x + 3>3. Це логічно.

Так само можна додати цілу функцію. Якщо маємо нерівність x > −3x + 7, то можемо додати до неї 3x і отримаємо:

$$\begin{eqnarray} x& > &-3x+7\quad/+3x\\ x+3x& > &-3x+3x+7\\ 4x& > &7 \end{eqnarray}$$

Вираз, звісно, можна й віднімати — тобто можна додати від'ємне число.

Множення нерівності на додатний вираз

Нерівність уже не можна просто так помножити на якийсь вираз, як ми могли робити з рівняннями. Якщо множимо на вираз, який завжди додатний, усе гаразд. Але якщо множимо на від'ємний вираз, треба змінити знак (див. наступний розділ). Звісно, як і в рівняннях, не можна множити на нульовий вираз!

Що означає «завжди додатний вираз»? Найпростіший вираз, який завжди додатний, — це додатне число. Отже, якщо маємо нерівність x>2, то можемо помножити її на десять, а це додатне число, і розв'язки нерівності не зміняться. Отримаємо нерівність 10x>20. Звісно, ділити на додатне число теж можна, тож з цієї перетвореної нерівності діленням на п'ять отримаємо нерівність 2x>4.

Але нерівність не можна просто помножити на змінну x, адже загалом змінна x може набувати і додатних, і від'ємних значень, а це недопустимо. Проте бувають ситуації, коли x завжди додатний. Наприклад, якщо ми розв'язуємо якусь геометричну задачу, може бути, що змінна x позначає довжину якогось відрізка. Довжина не може бути від'ємною (в найгіршому разі нульова), тож якщо ми знаємо, що x дорівнює довжині якогось відрізка, то нерівність можна помножити на змінну x.

Ще один завжди невід'ємний вираз — це квадрат. Якщо піднести якесь число до квадрата, воно буде додатним (або нульовим). Отже, якщо маємо нерівність

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

то можемо помножити її на вираз x². Отримаємо: 1>2x². Звісно, за умови, що x не дорівнює нулю. Існують і інші функції, що завжди додатні. Такі тригонометричні функції, як синус і косинус, мають за область значень відрізок [−1; 1]. Він не завжди додатний. Але якщо додати до них двійку, отримаємо область значень [1; 3], а це вже додатний проміжок. Такою функцією можна було б множити нерівність. Отже, якби ми мали нерівність

$$\frac{x+3}{\cos(x)+3}\le 3x-5,$$

то можемо помножити її всю на вираз cos(x)+3, бо це завжди додатна функція. Отримаємо:

$$x+3\le(3x-5)(\cos(x)+3).$$

Множення нерівності на завжди від'ємний вираз

З від'ємними числами та виразами ситуація складніша. Поглянь на приклад: 1<2. Ця нерівність, безперечно, правильна. А що, коли помножити всю нерівність на мінус одиницю? Отримаємо −1<−2. Чи правильна ця нерівність? Ні, мінус два менше за мінус один. Множення на від'ємне число, очевидно, не є рівносильним перетворенням нерівності.

Проте якщо при множенні на від'ємне число в нерівності одночасно змінити знак нерівності, воно вже буде рівносильним перетворенням. Якщо нерівність 1<2 помножити на −1 і водночас замість < написати >, ми виконаємо рівносильне перетворення і отримаємо нерівність −1>−2.

Множити на від'ємні числа просто, гірша ситуація з множенням на вирази (функції). Чому не можна помножити нерівність на змінну x? Бо якби змінна набувала додатних значень, знак не змінювався б. Якби набувала від'ємних, знак треба було б змінити. Загалом можливі обидва випадки: якщо x нічим не обмежений, змінна може бути і від'ємною, і додатною. Приклад:

$$\frac{1}{x}>1$$

Хибним був би підхід — помножити нерівність на змінну x. Ми отримали б 1>x, тобто розв'язками були б усі x, що менші за одиницю (звісно, ще за умови, що x не дорівнює нулю). А що, коли підставити в початкову нерівність за x число −1? Отримуємо:

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{-1}&>&1\\ -1&>&1 \end{eqnarray}$$

а це, безперечно, неправда. Тому не можна просто так помножити нерівність на змінну x.

Проте так само, як у попередньому розділі ми мали вирази, що завжди додатні, можуть бути й вирази, що завжди від'ємні. Найпростіше отримати їх так: поставити мінус перед завжди додатним виразом. У попередньому розділі ми з'ясували, що функція cos(x)+3 завжди додатна. Якщо поставити мінус перед усім виразом, отримаємо завжди від'ємну функцію: −(cos(x)+3).

Піднесення нерівності до натурального степеня та добування кореня

Піднесення нерівності до степеня загалом не є рівносильним перетворенням, так само як і в рівняннях. Поглянь на таку нерівність: x>−2. А що, коли піднести її до квадрата? Отримаємо: x²>4. Чи є ці нерівності рівносильними? Що станеться, якщо підставити в обидві нерівності за x нуль? У першому випадку маємо 0>−2, а це правда. У другому випадку маємо 0>4, а це неправда. Отже, ми не виконали рівносильного перетворення.

Коли можна підносити нерівність до натурального степеня? Якщо обидві частини невід'ємні (додатні або нульові). Тоді проблем не буде. Приклад:

$$\begin{eqnarray} 5&>&2\quad/^2\\ 25&>&4 \end{eqnarray}$$

Іншим прикладом може бути модуль, значення якого невід'ємне. Тож цю нерівність можна без остраху піднести до квадрата:

$$\begin{eqnarray} |x|&<&3\quad/^2\\ |x|^2&<&9 \end{eqnarray}$$

Так само, як піднесення до степеня, поводиться й добування кореня. Якщо обидві частини невід'ємні, з нерівності можна добути корінь натурального степеня. Тож попередню нерівність можна так само гарно повернути назад до початкового вигляду:

$$\begin{eqnarray} |x|^2&<&9\quad/\sqrt{ }\\ |x|&<&3 \end{eqnarray}$$

Відкидання зайвих виразів

Часто ми розв'язуємо нерівність у вигляді f(x)>0. У такому разі трапляється, що функція f складна і її можна спростити, відкинувши деякі вирази. Поглянь на таку нерівність: 2x>0. Ця нерівність, очевидно, має розв'язок, коли x>0. Якщо x від'ємний, то й 2x від'ємний. Якщо помножити від'ємне число на двійку, число залишиться від'ємним. Двійка не має сили змінити знак наступного виразу після множення.

Можна ще спробувати розв'язати нерівності 5x>0, 157x>0 і π x>0. У всіх випадках розв'язок буде той самий, x>0. Додатний коефіцієнт перед x ніяк не змінює розв'язків нерівності.

Формально таких коефіцієнтів позбуваємося, поділивши нерівність на цей коефіцієнт, ось так:

$$\begin{eqnarray} 2x&>&0\quad/:2\\ x&>&0 \end{eqnarray}$$

Зверни увагу: щоб можна було відкинути додатний коефіцієнт (позначмо його a), він неодмінно має множити всю ліву частину. З цієї нерівності не можна відкинути двійку: 2x + 7>0, бо двійка не множить усю ліву частину. Але можна поділити всю нерівність на двійку, і отримаємо нерівність x + 3,5>0.

Подібний приклад:

$$x^2\cdot(x-3)>0$$

Може здатися складним, проте вираз x² завжди невід'ємний, тож не змінить знака наступної дужки. Тому цей вираз можна відкинути з нерівності — поділимо нерівність на x² і отримаємо:

$$x-3>0$$

Лише треба додати умову, що x²≠0, бо ділити на нуль не можна. Проте x² дорівнює нулю, тільки коли x дорівнює нулю, а для x = 0 нерівність не виконується. Адже отримуємо (x = 0): 0(0 − 3)>0, а 0>0 — неправда.

Це не якийсь особливий метод, а лише вдале застосування попереднього пункту про множення й ділення на додатний вираз.