Факториел

Факториелът на числото n е равен на произведението на всички естествени числа, които са по-малки или равни на n. Факториела записваме с удивителен знак n!. При това за нулата е в сила: 0! = 1. Факториелът се използва главно в комбинаториката, където с негова помощ се пресмятат например пермутациите. Например факториелът на пет е равен на 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Определение на факториела

Факториела можем да определим по различни начини. Най-простият вероятно е този:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{ако n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{иначе}\end{array}$$

Можем да дадем и определение чрез произведение:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Или още чрез интеграл:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Пресмятане с факториели

С факториели често се пресмята в дроби. Тук се използва фактът, че n! = n · (n − 1)!. Това е в сила по определение, ще го покажем на пример. Знаем, че факториелът на четири, 4!, е равен на произведението на тези естествени числа: 4 · 3 · 2 · 1. При това можем да напишем, че произведението 3 · 2 · 1 е равно на факториела на три: 3 · 2 · 1 = 3!. Тогава факториела на четири можем да запишем като 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Благодарение на това можем ефективно да съкратим много различни факториели в дроби. Примерна задача – опрости израза:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Опростяването извършваме по формулата, която споменах преди малко. В числителя можем да разложим факториела на n · (n − 1)! и това още (по същата формула) можем да разложим на n · (n − 1) · (n − 2)!. Сега вече можем удобно да съкратим дробта:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Още един пример:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

И последният пример с факториел:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$