Изразяване на променлива

Как да изразим една конкретна променлива от по-сложна зависимост или дроб. Тази техника се използва особено при работа с различни формули, в които има повече променливи. А в комбинация с други формули можем да постигнем невиждани резултати – да изведем всичко от нищо.

Прости линейни изрази

Нека имаме тази формула: ax + b = c. Как от тази въображаема формула да изразим x? Винаги започваме, като прехвърлим всички изрази с променливата, която изразяваме, отляво, а останалото – отдясно. Теоретично няма значение на коя страна какво ще е, но обичайно е неизвестната, която изразяваме, да е отляво. Затова първо преместваме b надясно, тоест към двете страни на уравнението прибавяме −b:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Изразите с променливата са от едната страна, но още ни пречи a. Как да се отървем от него елегантно? Какво трябва да направим с израза ax, за да получим само x? Да, разделяме израза – а с това и цялото уравнение – на a, тоест умножаваме по $\frac{1}{a}$. Стойността на a при това трябва да е различна от нула (не можем да делим на нула). Ако го направим, получаваме:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Готово. Още един пример:

$$2ax-3bx=10a$$

Пак трябва да изразим x. Изразите с неизвестната вече са отляво, така че имаме малко по-малко работа. Усложнение е, че имаме два израза с неизвестната. Ситуацията решаваме с изнасяне пред скоби. От лявата страна на уравнението изнасяме x и получаваме:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Когато в предишния пример имахме израза ax и искахме да получим само x, умножихме цялото уравнение по $\frac{1}{a}$. Сега имаме в уравнението израза x(2a − 3b) и пак искаме да знаем x. Правим същото, разделяме цялото уравнение на израза (2a − 3b). Не се страхувай, уравнението наистина можем да разделим на цяла скоба, само че трябва да е изпълнено 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Дроби

Ако имаме израз с дроби, използваме същите преобразувания на уравнения, само че трябва да внимаваме да не разделим или умножим случайно на нула. Пример:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Искаме да изразим x. Умножаваме цялото уравнение по x – само че трябва да добавим условието, че x ≠ 0. Така или иначе то е изпълнено, защото в уравнението има дроб $\frac{a}{x}$ и x е в знаменателя – а на нула не можем да делим. Получаваме уравнението:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

При изразяването на неизвестната просто използвай обичайните еквивалентни преобразувания на уравнения.