Триъгълник на Паскал

Триъгълникът на Паскал е съставен от числа, като всяко число, което се намира под две други числа, е равно на техния сбор. Нека построим такъв триъгълник на Паскал и после ще покажем за какво може да ни е полезен.

Как да построим триъгълника на Паскал

По страните на нашия триъгълник пишем само единици, вътрешността на триъгълника засега попълваме с въпросителни знаци:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Сега пресмятаме първия въпросителен знак – събираме двете числа над него, така получаваме 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Подобно пресмятаме въпросителните знаци в следващия ред. Първо получаваме 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

И после получаваме 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Така ще продължаваме нататък и с всеки следващ ред ще получаваме нова част от триъгълника на Паскал:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Триъгълникът на Паскал, разбира се, е безкраен, можем да създаваме още и още редове. Винаги обаче по краищата имаме единици, а вътре в триъгълника имаме числа, получени като сбор на числата над това число. Например числото 15 в последния ред е получено като сбор на числата 5 и 10 над него.

Основни свойства на триъгълника на Паскал

Първото основно свойство вече споменахме: по страните на триъгълника винаги има единици:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Във „втория ред“ винаги имаме всички естествени числа:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Забеляза ли между другото, че триъгълникът на Паскал е симетричен? Всеки ред е един и същ, независимо дали го четеш отляво надясно, или отдясно наляво.

Триъгълни числа

В третия ред пък имаме числата 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Какво е интересното в тях? Тези числа наричаме триъгълни числа. Представи си, че имаш няколко кръгчета и искаш да ги наредиш във формата на триъгълник. Колко кръгчета ще ти трябват? Погледни следната картинка:

Виждаме, че за триъгълник със страна 1 ни трябва точно едно кръгче. За страна с дължина две ни трябват три кръгчета, за дължина три ни трябват шест кръгчета и за дължина четири ни трябват десет кръгчета. Броят на кръгчетата, които ни трябват, винаги е някакво триъгълно число, което намираме в триъгълника на Паскал.

Сбор на редовете

Какво ще стане, ако опитаме да съберем всеки ред в триъгълника на Паскал?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Виждаме, че сборът на всеки ред е два пъти по-голям от сбора на предишния ред. Всички сборове са равни на някаква степен на числото две. Ако най-горния ред означим като ред нула, можем да напишем, че сборът на n-тия ред на триъгълника на Паскал е равен на 2ⁿ.

Прости числа

Нека означим най-горния ред на триъгълника като ред нула. Тогава, ако изберем някакъв n-ти ред, където n е просто число, всички числа на този ред ще се делят на числото n (освен единиците по краищата).

За пример да вземем n = 5. Числото пет е просто число. Петият ред изглежда така:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Всяко от тези отбелязани числа се дели на числото пет.

Биномна формула на Нютон

Със сигурност знаеш формулите за пресмятане на (a + b)² или (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Можем да забележим, че коефициентите пред отделните изрази отговарят на числата в триъгълника на Паскал. Нека разгледаме например израза

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Първо към изразите a³ и b³ дописваме умножение по единица, за да е по-ясно:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

В този момент виждаме, че коефициентите, с които се умножават изразите, са същите като третия ред на триъгълника на Паскал (ако най-горния ред броим за нулев):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

На това явление обаче е посветена отделна статия за биномната формула на Нютон.