Отношения

Отношенията обикновено се използват, когато искаме да зададем отношението на вещество A спрямо вещество B. Например дали веществото A да е два пъти повече, наполовина и подобни. Разбира се, не е задължително да става дума само за отношение между две вещества, могат да участват и повече.

Относителни отношения

Отношенията винаги са относителни, не са някаква абсолютна величина. Ако в рецептата пише „добави половин килограм захар и четвърт килограм месо“, това е нещо различно от това, ако пише „добави малко месо и два пъти повече захар“. В първия случай не ни остава нищо друго, освен да купим половин килограм захар, а във втория случай ни стига да имаме само два пъти повече захар от месото. И в двата случая обаче ще забъркаме неядливо нещо.

Отношенията обикновено се означават с двоеточие. Например 1:2 или 5:4. Какво означава този запис? Първият запис означава, че първото вещество трябва да е в наполовина по-малко количество спрямо второто. Вторият запис пък казва, че веществото A трябва да е в купата 5 пъти, докато същото количество от веществото B – само четири пъти.

Ако трябва да смесим напитка, в която отношението на сока към водата е 5:2, това означава, че в чашата наливаме 5 dl сок и 2 dl вода. Тъй като става дума за отношение, условието ще изпълним и ако налеем 2,5 dl сок и 1 dl вода. Накратко, ще е достатъчно сокът да е 2,5 пъти повече от водата. До числото 2,5 стигнахме, като разделихме 5 / 2. Ако имаме отношение на някакви вещества A към B равно на 5:1, това означава, че веществото A трябва да е пет пъти повече (5 / 1). При отношение 7:3 то би било приблизително 2,3 пъти повече (7 / 3). При отношение 1:1 веществата са поравно, а накрая при отношение 2:3 веществото B е 1,5 пъти повече (3 / 2) или веществото A е само около 0,67 от количеството на веществото B (2 / 3).

Примерни задачи

В портфейла имаме хиляда евро, в дребни банкноти. Освен това в градината имаме двама работници, които цяла нощ са копали гроб за съседката, която непрекъснато ни наднича през прозореца в хола. Тъй като Ванко е работил по-бързо от Гошо, ще получи повече пари, и то в отношение 7:3. Колко пари ще получат за своята мрачна работа, ако предположим, че не сме скъперници и ще им дадем цялата хилядарка?

Пресмята се просто. Имаме зададено отношение 7:3. Тоест Ванко ще получи седем части, докато Гошо – само три части. Събираме числата в отношението 7 + 3 = 10 и с това число разделяме хилядарката, която искаме да им дадем: 1000 / 10 = 100. Така пресметнахме колко евро отговарят на една част. Ванко трябва да получи седем части: 100 · 7 = 700, а Гошо три части: 3 · 100 = 300. И готово – Ванко ще получи 700 евро, а Гошо 300.

Това е най-простият начин за решаване на задачи с отношения. Отношението всъщност само изразява части от някаква определена цялост. Ако отношението е 1:2, това означава, че веществото A е 1/3 от цялото, а веществото B – 2/3. Това са просто по друг начин записани дроби. Знаменателя намираме, като съберем всички части на отношението, а за числител просто заместваме дадените числа от отношението. Ако съберем всички части, трябва да получим цялото, тоест единица. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Можем да го изразим и с проценти: 33,3% и 66,7% (приблизително). Още един прост пример:

Мими и Петьо са приятели от детството, но за съжаление всеки от тях е тръгнал в друг университет, което ги е разделило за дълго. Мими е учила история, а Петьо е учил във Факултета по математика и информатика. След години се срещнаха в любимата си кръчмичка „Под липата“ и се заприказваха. Мими каза на Петьо, че откакто не са се виждали, е имала шестнайсет партньори (Мими е много красиво момиче и е малко непостоянна). Петьо обаче беше хитрец и не каза на Мими точния брой на приятелките си, а само ѝ каза, че отношението на нейните партньори към неговите приятелки е 8:3. Типичен математик… Но Мими нямаше само съвършените размери 89-61-88, а беше и умна, затова започна да пресмята: Добре, моите шестнайсет партньори отговарят на числото 8 в отношението, което ми каза Петьо. Така че ако искам да разбера на колко момчета отговаря една част от отношението, трябва да разделя 16 / 8 = 2. Следователно на една част отговарят двама партньори. Петьо има три части, така че броят на приятелките му е две по три, тоест шест. Петьо се съгласи и поръча още една напитка. След тази вечер резултатът и на двамата се увеличи точно с единица, но това вече е друга история.

Ивета работеше като барманка в заведението „Sk8 is Gr8“. Една вечер при нея на бара дойде малко подпийнал тип и поиска специална смесена напитка. Каза на барманката инструкциите: „Момиче, искам го в половин литър. Искам там сок от банан, кола и кафе. Всичко това в отношение 5:2:3.“ Барманката Ивета се учуди, но клиентът ни е господар. Захвана се да я приготви. Първо събра всички числа в отношението: 5 + 2 + 3 = 10. В чаша от половин литър се побират 500 ml течност. Затова трябваше да разбере на колко милилитра отговаря една част от отношението. Това намери лесно: 500 / 10 = 50. На една част отговарят 50 милилитра. Така в чашата наля 5 · 50 = 250 ml сок от банан, 2 · 50 = 100 ml кола и 3 · 50 = 150 ml кафе. Когато типът се появи втори път, поиска ключа от тоалетната.

Мащаб на карта

Класическо приложение на отношенията е и мащабът на картата.