Vektorräume

Ein Vektorraum, manchmal auch linearer Raum genannt, ist eine Menge von Elementen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen, durch die sich die Elemente dieser Menge, die wir Vektoren nennen, „schön“ verhalten.

Beispiel eines Vektorraums

Bevor wir den Vektorraum definieren, zeigen wir ein Beispiel eines Vektorraums, den du aus der Schule schon kennen solltest, nur weißt du nicht, dass es ein Vektorraum ist. Es sind die klassischen Vektoren in der Ebene.

Unter einem Vektor in der Ebene verstehen wir ein geordnetes Paar (a, b), wobei a, b ∈ ℝ. Das sind beliebige Koordinaten im Raum ℝ² (gemeint ist das kartesische Produkt ℝ × ℝ). Einen solchen Vektor können wir als Pfeil vom Punkt (0, 0) zum Punkt (a, b) darstellen. Der Vektor (2, 3) würde so aussehen:

Wir wissen, dass man Vektoren nach der Regel (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) addieren kann. Die Summe der Vektoren (2, 3) + (4, 1) wäre gleich dem Vektor (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Grafisch stellen wir das so dar:

Zugleich können wir das k-fache eines Vektors berechnen, wobei k eine reelle Zahl ist. Das k-fache schreiben wir als k · (a, b). Das Ergebnis ist ein neuer Vektor, der als k · (a, b) = (k · a, k · b) definiert ist. Grafisch zeigt sich das so, dass der Vektor „gestreckt“, „gestaucht“ wird oder seine Richtung ändert. Haben wir den Vektor u = (2, 3), dann sehen die Vektoren 2 · u, $\frac{1}{2}u$ und −1 · u so aus:

Dass die Menge aller Vektoren ℝ² mit den so definierten Operationen einen Vektorraum bildet, beweisen wir später. Zuerst definieren wir den Vektorraum und zeigen die einzelnen Eigenschaften an diesem Vektorraum ℝ².

Definition des Vektorraums

Ein Vektorraum (oder auch linearer Raum) ist eine nichtleere Menge V, deren Elemente wir Vektoren nennen. Außerdem müssen auf der Menge zwei Operationen existieren: die Addition von Vektoren, also die Abbildung V × V ⟶ V, und die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl, also die Abbildung ℝ × V ⟶ V. (Allgemeiner kann man anstelle der Menge der reellen Zahlen einen beliebigen Körper verwenden, aber davon in späteren Artikeln.) Die Addition von Vektoren bezeichnen wir mit dem Zeichen +, die Multiplikation mit ·. Diese zwei Operationen müssen die folgenden Bedingungen erfüllen. Das heißt, für alle x, y, z ∈ V und für alle a, b ∈ ℝ muss gelten (achte darauf, dass die Vektoren x, y, z fett gedruckt sind, die Zahlen a, b dagegen normal):

1. x + y = y + x: Die Addition von Vektoren ist kommutativ. Kehren wir zum Beispiel mit den Vektoren in ℝ² zurück, dann ist es egal, ob wir die Vektoren so addieren (2, 3) + (4, 1) oder umgekehrt: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): Die Addition von Vektoren ist assoziativ. Wieder können wir irgendwelche Vektoren aus ℝ² einsetzen und werden sehen, dass es aufgeht.
• a · (b · x) = (a · b) · x: Assoziativgesetz der Multiplikation. Für unsere Vektoren gilt, dass 4 · (5 · (6, 7)) dasselbe ist wie (4 · 5) · (6, 7). Beide Rechnungen führen zum Vektor (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: Distributivgesetz für Vektoren aus V. Wieder sehen wir, dass 2 · ((2, 3) + (4, 5)) dasselbe ist wie 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Beide Terme führen zum Vektor (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: Distributivität der Addition von Zahlen.
• 1 · x = x: Multiplizieren wir einen beliebigen Vektor mit der reellen Zahl 1, ändert sich der Wert des Vektors nicht. In unserem Fall gilt 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Es existiert ein Element 0 ∈ V mit 0 · x = 0. Die fette Null, also 0, ist der sogenannte Nullvektor, während die nicht fette Null 0 einfach die Zahl null ist. Dieser Punkt besagt, dass es in V einen Vektor geben muss, den wir erhalten, indem wir einen beliebigen Vektor x ∈ V mit der Zahl null multiplizieren. Für unseren Raum ℝ² ist das der Vektor (0, 0), denn für alle Vektoren (a, b) ∈ ℝ² gilt 0 · [a,b] = (0, 0).

Das sind alle Eigenschaften, die ein Vektorraum (linearer Raum) V erfüllen muss. Multiplizieren wir einen Vektor mit einer reellen Zahl a, dann nennen wir diese Zahl a einen Skalar. Wir sprechen deshalb oft von der Multiplikation mit einem Skalar und meinen damit einen Term der Form a · x, wobei a eine reelle Zahl und x ein Vektor ist.

Die doppelte Bedeutung des Pluszeichens +

Beachte, dass das Pluszeichen + in manchen Termen eine doppelte Bedeutung haben kann. Zum Beispiel haben wir im Punkt Distributivität der Addition von Zahlen die Gleichung (a + b) · x = a · x + b · x. Dabei addiert das Zeichen + auf der linken Seite der Gleichung reelle Zahlen, da a und b reelle Zahlen sind, während es auf der rechten Seite Vektoren addiert, da das Ergebnis des Produkts a · x ein Vektor ist.

Dieses automatische Erkennen wird in der Mathematik oft verwendet – aus dem Kontext ist immer klar, welche Addition gemeint ist. Haben wir den Term x + y, und x, y sind Vektoren, verwenden wir die Vektorsumme. Wären x, y Zahlen, würden wir die gewöhnliche Summe verwenden. Wären es Matrizen, würden wir die Matrixsumme verwenden, usw.

Wir könnten für die Addition von Vektoren ein anderes Zeichen verwenden, zum Beispiel ⊕. Dann könnten wir die Distributivität der Addition von Zahlen so schreiben: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Das normale + bezeichnet hier die Addition der reellen Zahlen a, b, das Zeichen ⊕ die Addition von Vektoren. Meistens verwendet man aber für beide Arten der Addition das eine Zeichen + und erkennt seine Bedeutung aus dem Kontext. Dasselbe gilt für das Zeichen ·.

Der Vektorraum R²

Im ersten Teil haben wir den Vektorraum V = ℝ² definiert, nun beweisen wir, dass es sich tatsächlich um einen Vektorraum handelt. Zuerst müssen wir überprüfen, ob wir die Operationen Addition und Multiplikation richtig definiert haben. Die Addition soll zwei Vektoren addieren, und das Ergebnis soll ein neuer Vektor sein. Das ist erfüllt, denn (a, b) + (c, d) = [a + c,b + d]. Durch die Addition zweier Vektoren aus ℝ² entsteht ein neuer Vektor aus ℝ².

Würden wir zum Beispiel die Addition von Vektoren als Summe ihrer Beträge definieren, wäre das keine gültige Additionsoperation in einem Vektorraum. Den Betrag des Vektors (a, b) würden wir als $\sqrt{a^2+b^2}$ berechnen. Das Ergebnis der Summe (3, 4) + (5, 12) wäre also die Zahl $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, und das ist kein Vektor des Raums ℝ².

Weiter müssen wir überprüfen, ob wir die Multiplikation richtig definiert haben. Die Multiplikation multipliziert eine reelle Zahl mit einem Vektor aus ℝ², und das Ergebnis soll ein neuer Vektor aus ℝ² sein. Das ist wieder erfüllt, denn die Multiplikation mit einem Skalar haben wir als k · [a,b] = (k · a, k · b) definiert.

Nacheinander überprüfen wir alle 7 Eigenschaften, die ein Vektorraum erfüllen muss. Für die einzelnen Vektoren x, y setzen wir unsere Vektoren (a, b), (c, d), … ein, je nachdem, wie es gerade passt – lass dich davon nicht abschrecken.

1. x + y = y + x, Kommutativität der Addition von Vektoren. Ist die von uns definierte Addition von Vektoren kommutativ? Ja, denn sie ist als (a, b) + (c, d) = [a + c,b + d] definiert. Vertauschen wir auf der linken Seite die Vektoren, erhalten wir: (c, d) + (a, b) = [c + a,d + b]. Da c + a die Summe zweier reeller Zahlen ist und die Addition reeller Zahlen eine kommutative Operation ist, gilt c + a = a + c und dasselbe für das zweite Paar: d + b = b + d. Es gilt also [a + c,b + d] = [c + a,d + b].

• (x + y) + z = x + (y + z). Das wird ein Spiel mit Klammern. Im Grunde sind es einfache Umformungen, nur werden sie unübersichtlich, weil dort einfach zu viele Klammern stehen. Wir versuchen, diese Summe von Vektoren zu berechnen:

$$([a,b]+[c,d])+[e,f]=[a+c,b+d]+[e,f]=[(a+c)+e,(b+d)+f]$$

Da a, c, e reelle Zahlen sind und die Addition auf den reellen Zahlen assoziativ ist, gilt (a + c) + e = a + c + e. Dasselbe gilt für die zweite Koordinate. Wir können also schreiben:

$$([a,b]+[c,d])+[e,f]=(a+c+e,b+d+f)$$

Jetzt versuchen wir, dieselben Vektoren mit anders gesetzten Klammern zu addieren:

$$[a,b]+((c,d)+(e,f))=[a,b]+[c+e,d+f]=[a+(c+e),b+(d+f)]$$

Wieder gilt a + (c + e) = a + c + e, also können wir schreiben:

$$[a,b]+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Wir sehen also: Wie auch immer wir die Summe dreier Vektoren klammern, wir kommen immer zum selben Vektor (a + c + e, b + d + f). Die Addition in ℝ² ist also assoziativ und erfüllt auch die zweite Eigenschaft von Vektorräumen.

Du kannst versuchen, für die Variablen a, …, f konkrete Zahlen einzusetzen, und wirst sehen, dass es aufgeht.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Wieder schreiben wir zuerst die linke Seite der Gleichung aus, wobei wir für x den Vektor (c, d) einsetzen:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=[a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d)]$$

Da die Multiplikation reeller Zahlen assoziativ ist, erhalten wir die Gleichheit a · (b · c) = a · b · c. Wir können also schreiben:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=[a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d]$$

Nun schreiben wir die rechte Seite der Gleichung aus, also die Seite (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=[(a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d]$$

Wieder gilt (a · b) · c = a · b · c, also:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=[a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d]$$

Wir sehen, dass beide Seiten der Gleichung zum Ergebnisvektor [a · b · c,a · b · d] führen, die Gleichung gilt also.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Das Vorgehen ist dasselbe, wir schreiben die linke Seite der Gleichung aus:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=[a\cdot (c+e),a\cdot (d+f)]$$

Da a, c, e reelle Zahlen sind, für die das Distributivgesetz gilt, erhalten wir die Gleichheit a · (c + e) = ac + ae. Wir können also schreiben:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Rechte Seite der Gleichung:

$$a\cdot [c,d]+a\cdot [e,f]=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Wir sehen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung nach den Umformungen gleich sind.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Wir gehen sehr ähnlich vor wie im vorigen Schritt. Umformung der linken Seite der Gleichung:

$$(a+b)\cdot (c,d)=[(a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d]=[ac+bc,ad+bd]$$

Rechte Seite:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot [c,d]=(ac,ad)+(bc,bd)=[ac+bc,ad+bd]$$

• 1 · x = x: Ich glaube zwar nicht, dass überhaupt jemand bis zu diesem Punkt durchgehalten hat, aber sei's drum, wir machen weiter :-). Dieser Punkt ist wenigstens einfach. Wir sollen überprüfen, dass 1 · (a, b) = [a,b] gilt. Das stimmt sicher, denn

$$1\cdot [a,b]=(1\cdot a,1\cdot b)=[a,b]$$

• Es existiert ein Element 0 ∈ ℝ² mit 0 · x = 0: Das ist der Vektor (0, 0). Für ihn gilt 0 · [a,b] = (0, 0), denn

$$0\cdot [a,b]=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Die Größe von Vektorräumen

Welcher Vektorraum ist der kleinste? Aus der Definition wissen wir, dass ein Vektorraum eine nichtleere Menge V ist, die kleinste mögliche Größe, die wir betrachten können, ist also eine Menge mit einem Vektor. Aus dem siebten Punkt der Definition wissen wir, dass der Raum den Nullvektor enthalten muss. Die Menge V = {0} ist also ein Kandidat für den kleinsten Vektorraum.

Die Addition können wir als 0 + 0 = 0 definieren und die Multiplikation als a · 0 = 0. Was auch immer wir tun, wir erhalten immer den Nullvektor. Diese einelementige Menge hat offensichtlich alle sieben geforderten Eigenschaften.

Wir wissen schon, dass es einen einelementigen Vektorraum gibt. Gibt es einen Vektorraum mit zwei Elementen? Können wir auf der Menge V = {x, 0} die Operationen Addition und Multiplikation so definieren, dass daraus ein Vektorraum entsteht?

Die Antwort lautet nein, einen zweielementigen Vektorraum gibt es nicht. Und es gibt auch keinen anderen endlichen Vektorraum außer dem erwähnten einelementigen. Alle übrigen Vektorräume sind unendlich. Würden wir aber, wie angedeutet, anstelle der Menge der reellen Zahlen einen anderen, endlichen Körper verwenden, könnten wir auch einen anderen endlichen Vektorraum erhalten.

Zusammenfassung

Die Definition von Vektorräumen ist nicht ganz einfach, Vektoren und Operationen müssen insgesamt 7 Bedingungen erfüllen, und das ist nicht wenig. Andererseits sind diese Bedingungen recht trivial und verständlich – sie zielen darauf ab, dass man mit den Vektoren gut arbeiten kann. Dank der festgelegten Bedingungen können wir Vektoren aus einem Vektorraum addieren, ohne überprüfen zu müssen, ob das Ergebnis der Addition vielleicht ein Vektor aus einem anderen Vektorraum ist. Genauso können wir einen Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren und erhalten immer einen Vektor aus demselben Raum. Dass Vektoren und ihre Operationen das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz einhalten, ist ebenfalls recht natürlich.

Den Vektorraum könnten wir auch allgemeiner definieren. Anstelle der Menge der reellen Zahlen können wir einen beliebigen Körper nehmen. Davon aber in späteren Artikeln.