Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix ist eine Zahl, die die Anzahl der unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix angibt.

Definition

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten in der Matrix. Die Nullmatrix hat den Rang null, jede andere Matrix hat mindestens den Rang eins. Eine Matrix vom Typ m × n kann höchstens den Rang min(m, n) annehmen. Hat eine Matrix also weniger Zeilen als Spalten, ist ihr Rang höchstens gleich der Anzahl der Zeilen. Analog für Spalten.

Den Rang einer Matrix bezeichnen wir üblicherweise mit dem Wort „Rang“ (englisch „rank“). Wir schreiben dann Rang(A) = x.

Wie man den Rang berechnet

Jetzt zur Berechnung des Rangs einer Matrix. Das ist ziemlich einfach. Du musst die Matrix in eine Form umformen, an der man schon klar sieht, welche Zeilen linear unabhängig sind. Das macht man meistens so, dass man die Matrix in Zeilenstufenform bringt (unter der Diagonale lauter Nullen), und dann sieht man, wie es um die Matrix steht. Also schnell zu einem Beispiel – wir haben diese Matrix:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Wir sollen ihren Rang bestimmen. Dazu müssen wir uns eine Kleinigkeit klarmachen. Haben wir zwei Zeilen, die voller von null verschiedener Zahlen sind, können sie theoretisch linear abhängig sein. Wir müssten es nachrechnen. Hat aber eine dieser Zeilen an irgendeiner Stelle eine Null, während die andere Zeile an derselben Stelle keine Null hat, können wir sicher behaupten, dass sie nicht abhängig sind. Wir finden nämlich keine Zahl, mit der wir diese Null (und damit die ganze Zeile) multiplizieren könnten, um dort dieselbe Zahl zu erhalten, die in der anderen Zeile steht. Deshalb werden wir immer versuchen, Matrizen in Zeilenstufenform zu bringen, um diese Nullen dorthin zu bekommen.

Den vorherigen Absatz können wir so schreiben. Wenn α₁, α₂ ≠ 0, dann:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Deshalb versuchen wir, die Matrix in eine ähnliche Form zu bringen, damit wir die Abhängigkeiten einfach sehen. Schau dir ein Beispiel an:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Das ist eine Matrix in Zeilenstufenform, keine Zeilen sind linear abhängig. Du kannst mithilfe der ersten beiden Zeilen nicht die dritte ausdrücken, denn wenn du von null verschiedene Koeffizienten Alpha hast, bleibt dir an den ersten Stellen immer irgendeine von null verschiedene Zahl.

Das Vorgehen ist üblicherweise folgendes: Zuerst bringen wir Nullen in die erste Spalte (außer in die erste Zeile). Danach formen wir die Matrix weiter um, sodass wir Nullen in der zweiten Spalte bekommen, dann in der dritten usw. usw. usw., bis wir am Ende die Zeilenstufenform haben. Wir zählen die Zeilen, die keine Nullzeilen sind, und siehe da, wir haben den Rang der Matrix. Diese Umformungen können wir verwenden, ohne den Rang der Matrix zu ändern:

• Zwei beliebige Zeilen vertauschen.
• Eine Zeile mit einem beliebigen Term ungleich null multiplizieren.
• Eine Zeile zu einer anderen addieren.
• Alle vorherigen Umformungen lassen sich auch auf Spalten anwenden.

Beispiel

In unserer vorherigen Matrix führen wir die Umformungen so durch: Wir schauen, in welcher Beziehung die Elemente a₁₁ und a₂₁ stehen. Wir sehen, dass sie gleich sind, also müssen wir, um an der Stelle a₂₁ eine Null zu bekommen, das −1-Fache der ersten Zeile addieren. Wir addieren das −1-Fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile (oder anders gesagt: Wir subtrahieren die erste Zeile von der zweiten):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Jetzt haben wir eine Null dort, wo wir sie haben wollten. Nun müssen wir noch eine Null an die Position a₃₁ bekommen. Dort steht wieder eine Eins, also subtrahieren wir einfach die erste Zeile:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Jetzt haben wir Nullen in der ersten Spalte, also machen wir uns mit Freude an die zweite Spalte. Wir sehen, dass die Zahlen a₂₂ und a₃₂ Gegenzahlen sind, also genügt es, die Zeilen zu addieren:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Und wir haben dort eine Nullzeile erhalten. Die Umformungen sind fertig, wir sind in der Zeilenstufenform angekommen. Nun zählen wir nur noch die Zeilen, die keine Nullzeilen sind, und haben den Rang. Dieser ist gleich Rang(A) = 2. Diese Matrix hatte den Rang zwei.

Zweites Beispiel

Jetzt versuchen wir, den Rang einer etwas größeren Matrix zu berechnen:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen, also können wir uns erlauben, die Zeilen der Matrix beliebig durcheinanderzuwürfeln. Hier wäre es zum Beispiel praktisch, die Zeile mit der Eins am Anfang ganz oben zu haben, damit wir besser rechnen können. Wir können also ohne Bedenken die erste mit der zweiten Zeile vertauschen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Jetzt gehen wir genauso vor wie im vorherigen Beispiel. In der ersten Spalte müssen wir lauter Nullen haben (außer in der ersten Zeile natürlich), also addieren wir zur zweiten Zeile das −7-Fache der ersten Zeile, zur dritten das −4-Fache und zur letzten das −2-Fache. Die erste Zeile bleibt unverändert:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Wieder vertauschen wir Zeilen, diesmal sollten wir die letzte Zeile anstelle der zweiten Zeile bekommen, wegen der Zwei an der zweiten Position. Wir vertauschen die zweite und die vierte Zeile:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Aber wir sehen, dass wir unter der Zwei die Zahlen −17 und −19 haben. Keine dieser Zahlen ist durch zwei teilbar, was ziemlich unpraktisch, ja sogar ärgerlich ist. Deshalb multiplizieren wir nun die dritte und die vierte Zeile mit zwei:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Jetzt können wir mit den Umformungen fortfahren und versuchen, die zweite Spalte auf null zu bringen. Zur dritten Zeile addieren wir das 17-Fache der zweiten Zeile und zur vierten das 19-Fache:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

So, jetzt haben wir ziemlich – für die nächste Umformung – unpraktische Zahlen bekommen, aber wir werden schon irgendwie damit zurechtkommen. Wir dividieren die dritte Zeile durch −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Und jetzt multiplizieren wir die dritte Zeile mit 60 und addieren sie zur vierten Zeile:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Es kam zwar eine unschöne, aber von null verschiedene Zahl heraus. Die Matrix hat also den Rang vier, sie enthält keine linear abhängige Zeile.

Beispiel mit Parameter

Welchen Rang hat die Matrix A in Abhängigkeit vom Parameter q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Das ist eine etwas kompliziertere Aufgabe, weil wir dort den Parameter q haben. Wir müssen herausfinden, bei welchen Werten von q die Matrix maximalen Rang hat, falls überhaupt, und bei welchen einen niedrigeren. Wir gehen klassisch vor, nur rechnen wir manchmal statt mit konkreten Werten mit dem abstrakten q. Im ersten Schritt verschieben wir den Parameter q an eine schönere Stelle, nämlich ganz nach rechts unten. Dazu vertauschen wir die zweite Zeile mit der dritten und anschließend die erste Spalte mit der letzten:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Jetzt haben wir den Parameter an eine geeignete Stelle gebracht, wo er nicht allzu sehr stört. In der ersten Spalte haben wir aber ziemlich unpraktische Zahlen, allerdings haben wir ganz in der Mitte eine Eins: Wir verschieben sie nach links oben, d. h. wir vertauschen die erste und die zweite Zeile sowie die erste und die zweite Spalte:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Jetzt ist daraus eine schöne Matrix geworden. Wir multiplizieren die erste Zeile mit −8 und addieren sie zur zweiten Zeile:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Wir multiplizieren die erste Zeile mit −5 und addieren sie zur dritten Zeile:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Prima, die erste Spalte ist so, wie wir sie brauchen. Nun addieren wir das −1-Fache der zweiten Zeile zur dritten:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Und wir sind am Ende der Umformungen der Matrix. Wir sehen, dass die erste und die zweite Zeile sicher linear unabhängig sind. Linear abhängig kann aber die dritte Zeile sein. Die Zeile ist linear abhängig, wenn sie ganz aus Nullen besteht, also wenn wir den Parameter q so wählen, dass der Term q + 11 gleich null ist. Offensichtlich gilt: Wenn q = −11, dann ist die Zeile eine Nullzeile und damit linear abhängig.

Das endgültige Urteil lautet also: Für q = −11 hat die Matrix den Rang zwei, sonst hat sie den Rang drei.