Relationen

Eine Relation ist das mathematische Gegenstück zum normalen Begriff „Beziehung“. Im normalen Leben steht zum Beispiel Monika in einer Beziehung zu Julia, nämlich in der Beziehung „Mutter – Tochter“. Eine weitere solche Beziehung kann „Staat – Hauptstadt dieses Staates“ sein. Als Beispiel können wir Ägypten – Kairo nehmen.

Weitere Beispiele für Relationen

Nehmen wir weitere Beispiele zu Hilfe. In der Einleitung haben wir die Relationen (Beziehungen) „Mutter ihrer Tochter sein“ und „Hauptstadt eines Staates sein“ erwähnt. Schauen wir uns weitere an: „eine gerade Zahl sein“. In dieser Relation sind die Zahlen 2, 4, 8, 18, 58, 66 und viele weitere. Die Zahlen 1, 3, −7, 19 stehen nicht in der Relation „eine gerade Zahl sein“. Eine Relation aus dem Alltag ist zum Beispiel „ein Mann sein“. Adam, Michael, Lukas oder Martin stehen in der Relation „ein Mann sein“.

Ein weiteres Beispiel kann die Relation „kleiner als“ sein. Zum Beispiel ist die Zahl drei „kleiner als“ die Zahl fünf. Mathematisch können wir das als 3<5 schreiben. Oder die Relation der Gleichheit: Die Zahl drei „ist gleich“ der Zahl drei, mathematisch: 3 = 3.

Wir können auch kompliziertere Beispiele haben: „Vater und Mutter sind die Eltern eines Kindes“. In dieser Relation steht ein Tripel von Personen: Vater Daniel, Mutter Marie und Kind Klara. In der Mathematik könnten wir eine Relation mit drei Elementen so erfinden: Die Summe der ersten beiden Zahlen ist gleich der dritten Zahl. Zum Beispiel stehen diese Zahlen in dieser Reihenfolge in dieser Relation: 3, 4, 7, denn 3 + 4 = 7. Diese Zahlen stehen nicht in der Relation: 3, 5, 12, denn 3 + 5 ≠ 12.

Stelligkeit einer Relation

Stelligkeit ist ein seltsam klingender Begriff, der aber nur beschreibt, wie viele Elemente wir in der Relation haben. In den vorherigen Beispielen haben wir mit einer unterschiedlichen Anzahl von Elementen gearbeitet. Bei der Relation „ein Mann sein“ kamen wir mit einem Element aus, wir können also sagen: „Hans ist ein Mann“. Uns genügt ein Name, ein Element. Von einer solchen Relation sagen wir, dass sie einstellig (unär) ist.

Im nächsten Beispiel hatten wir die Relation „kleiner als“. Sie arbeitete mit zwei Zahlen, mit zwei Elementen. Wir haben gesagt, dass die Zahl drei kleiner ist als fünf. Wir haben zwei Elemente verwendet, die Relation ist also zweistellig (binär).

Im letzten Beispiel haben wir insgesamt drei Elemente verwendet: Die Summe zweier Zahlen sollte gleich der dritten sein. Wir hatten also die Zahlen a, b, c und es musste gelten, dass a + b = c. Diese Relation wäre dreistellig (ternär).

Für höhere Stelligkeiten können wir die Schreibweise der n-stelligen Relation verwenden. Wir können sie aber auch für niedrigere Stelligkeiten verwenden, eine zweistellige Relation können wir als 2-stellige Relation schreiben. Die Elemente der Relation schreiben wir dann in Form geordneter n-Tupel. Bei einer zweistelligen Relation schreiben wir sie als Paare, gewöhnlich entweder mit eckigen Klammern oder mit spitzen Klammern. Wenn wir also aufschreiben wollen, dass die Zahlen drei und fünf in der Relation „kleiner als“ stehen, müssen wir die Zahlen als Paar schreiben: (3, 5), beziehungsweise [3; 5]. Beachte, dass wir auf die Reihenfolge achten müssen, andersherum würde es nicht gelten: (3, 5) ≠ (5, 3) – fünf ist nicht kleiner als drei.

Ein Familienbeispiel

Bevor wir uns an die mathematischen Definitionen machen, probieren wir noch ein typisches Beispiel mit einer Familie. Wir haben diese Mitglieder einer Familie:

• Max: Großvater väterlicherseits;
• Josef: Vater;
• Dorothea: Mutter;
• Sandra: Tochter;
• Hans: Sohn.

Als Erstes suchen wir alle Familienmitglieder heraus, die der Relation „ein Mann sein“ entsprechen. Es handelt sich um eine 1-stellige, also einstellige (unäre) Relation. In der Relation steht daher immer nur ein Element, ein Familienmitglied. Jetzt müssen wir alle Familienmitglieder aufschreiben, die männlich sind. Auf die Reihenfolge kommt es nun nicht an. Die Relation „ein Mann sein“ enthält also diese Elemente: {[Max]; [Josef]; [Hans]}. Beachte, dass wir, obwohl es sich um eine einstellige Relation handelt, eckige Klammern verwendet haben. Das ist nicht notwendig, die Schreibweise wäre auch ohne sie lesbar, aber der Einheitlichkeit halber habe ich die Klammern beibehalten. Die Gesamtheit aller Elemente der Relation ist dann eine gewöhnliche Menge, daher die geschweiften Klammern.

Jetzt suchen wir alle Paare der Relation „Vater – Sohn“ heraus. Das ist schon auf den ersten Blick eine zweistellige Relation, im Ergebnis kommen geordnete Paare von Elementen vor. Die Ergebnismenge sieht so aus: {(Josef, Hans); (Max, Josef)}. Vater Josef ist der Vater von Sohn Hans und Großvater Max ist der Vater von Vater Josef. Beachte, dass es wirklich auf die Reihenfolge ankommt: Josef steht dort zweimal, aber einmal an erster Stelle in der Rolle des Vaters und einmal an zweiter Stelle in der Rolle des Sohnes.

Probieren wir noch eine weitere Relation: „Elternteil – Kind“. Hier wird es mehr geben, denn an erster Stelle kann ein beliebiger Elternteil stehen, sowohl der Vater als auch die Mutter, und an zweiter Stelle ein beliebiges Kind, sowohl der Sohn als auch die Tochter. Wir müssen auch berücksichtigen, dass Großvater Maximilian ein Elternteil von Josef ist, aber nicht von Dorothea. Josef und Dorothea sind aber beide Eltern von Sandra und Hans. Sandra und Hans sind Eltern von niemandem, denn sie sind erst neunzehn und dreizehn Jahre alt. Im Ergebnis ergeben sich diese geordneten Paare: {(Max, Josef); (Josef, Sandra); (Josef, Hans); (Dorothea, Sandra); (Dorothea, Hans)}. Beachte, dass Josef und Dorothea dort jeweils zweimal vorkommen – einmal als Eltern der Tochter Sandra und einmal als Eltern von Hans.

Noch eine letzte Falle bei den zweistelligen Relationen. Nehmen wir diese Relation: „Geschwister – Geschwister“. Hier müssen wir uns klarmachen, dass es bei Relationen auf die Reihenfolge ankommt. Würden wir im Ergebnis dieser Relation nur „Sandra – Hans“ aufschreiben, wäre das falsch, denn das ist ein ganz anderes geordnetes Paar als „Hans – Sandra“. Deshalb lautet das richtige Ergebnis: {(Sandra, Hans); (Hans, Sandra)}.

Und noch ein ganz kurzes Beispiel zur dreistelligen Relation: Schreibe alle geordneten Tripel dieser Relation auf: „Großvater – Vater – Kind“. In der Aufgabenstellung haben wir nur einen Großvater und einen Vater, aber zwei Nachkommen. Es genügt nicht, nur die Variante mit Sandra oder mit Hans aufzuschreiben, wir müssen beide aufführen. Etwas anderes wäre es, wenn am Ende statt „Kind“ „Sohn“ stünde. Das richtige Ergebnis lautet: {(Max, Josef, Sandra); (Max, Josef, Hans)}.

Definition der einstelligen Relation

Wir untersuchen die einfachsten Relationen, die einstelligen. Unter einer einstelligen Relation verstehen wir eine Menge von Elementen. Die Menge {2; 3} kann eine Relation darstellen. Zum Beispiel die Relation „eine Primzahl kleiner als fünf sein“ oder „ein nichttrivialer Teiler der Zahl sechs sein“, je nach unserer Interpretation.

Aufmerksameren Lesern ist aufgefallen, dass die zweite Relation etwas seltsam definiert ist. Sie besagt, dass die Relation die nichttrivialen Teiler der Zahl sechs enthalten soll, und in der Ergebnismenge haben wir die Zahlen 2 und 3. Fehlen da nicht welche? Die Zahlen 1 und 6 sind triviale Teiler, die interessieren uns nicht. Aber es sollten auch die negativen Zahlen dabei sein, also −2 und −3. Die Menge aller nichttrivialen Teiler der Zahl 6 sieht so aus: {−3; −2; 2; 3}.

Ähnlich wie wir bei Funktionen die Definitionsmenge festlegen, legen wir bei einer Relation die Grundmenge fest – die Menge, aus der wir die Elemente der Relation auswählen. In den vorherigen Beispielen haben wir zum Beispiel die Familie festgelegt, in der es Opa Max usw. gab. Wir haben Väter und Kinder nicht aus allen Familien der Welt ausgewählt. Wenn wir als Grundmenge die Menge der natürlichen Zahlen festlegen, dann ist unsere Relation in Ordnung.

Jetzt können wir uns an die Definition der Relation machen. Wenn die Grundmenge die natürlichen Zahlen sind, welche Elemente kann unsere einstellige Relation enthalten? Wieder nur natürliche Zahlen. Entweder alle oder nur einen Teil. Wir können also sagen, dass die gegebene Relation eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen sein wird. Allgemeiner gilt: Wenn wir eine einstellige Relation R und eine Grundmenge M haben, dann gilt R ⊆ M, die Relation R ist eine Teilmenge der Menge M.

Definition der zweistelligen Relation

Wie sieht es bei einer zweistelligen Relation aus? Bei einer zweistelligen Relation sind die Elemente der Relation R geordnete Paare. Jedes Element des Paares kann aus einer anderen Menge stammen. Wir können eine Relation „Elternteil – Anzahl der Kinder“ haben. Der Elternteil wird aus der Menge der Menschen, zum Beispiel in Europa, ausgewählt und die Anzahl der Kinder aus der Menge der natürlichen Zahlen plus null.

Wie bekommen wir aus zwei Mengen die Menge aller möglichen Paare? Mit dem kartesischen Produkt. Haben wir die Mengen A = {a; b; c}, B = {1; 2}, dann erhalten wir durch das kartesische Produkt:

$$A\times B=\{(a,1);(a,2);(b,1);(b,2);(c,1);(c,2)\}$$

Das ist die Menge aller möglichen Paare, die wir erhalten können, indem an erster Stelle ein Element der Menge A und an zweiter Stelle ein Element der Menge B steht. Haben wir also eine zweistellige Relation R zwischen den Mengen A und B, dann können wir diese Relation als R ⊆ A × B definieren.

Würden wir die vorherigen Mengen A und B beibehalten und eine Relation R zwischen diesen Mengen so definieren: „Buchstabe – Position des Buchstabens im Alphabet“, dann sieht diese Relation so aus: R = {(a, 1); (b, 2)}. Der Buchstabe c ist nicht dabei, denn im kartesischen Produkt A × B kommt das Paar (c, 3) nicht vor.

Definition der n-stelligen Relation

Zum Schluss definieren wir die allgemeine n-stellige Relation R zwischen den Mengen M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Eine Relation ist also eine Teilmenge geordneter n-Tupel. Ein Beispiel für eine zweistellige Relation kann die Relation „kleiner als“ sein, also <. Diese können wir zwischen irgendwelchen Zahlenbereichen definieren, zum Beispiel zwischen den natürlichen Zahlen. Dann sieht die Relation so aus:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Erschrick nicht, dass das Zeichen < so seltsam auf der linken Seite steht. Es ist nur der Name der Relation. Dort könnte wieder R stehen, wobei R die Relation „kleiner als“ darstellen würde.)

Konkret würde die Relation so aussehen:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Es ist die Menge der geordneten Paare, bei denen die natürliche Zahl an erster Stelle kleiner ist als die natürliche Zahl an zweiter Stelle.

Schreibweise von Relationen

Relationen bezeichnen wir üblicherweise mit großen Buchstaben R, S usw. oder mit gebräuchlichen Symbolen: <, ⊆, = usw. Aus den vorherigen Definitionen ist ersichtlich, dass eine Relation in Wirklichkeit eine Menge ist. Schließlich ist fast alles in der Mathematik eigentlich eine Menge :-). Wenn wir also sagen wollen, dass ein Element r zur Relation R gehört, können wir das als r ∈ R schreiben.

Zum Beispiel können wir (1, 3) ∈ < schreiben und das bedeutet, dass das Zahlenpaar eins und drei zur Relation „kleiner als“ gehört. Bei zweistelligen Relationen begegnen wir oft einer angenehmeren Schreibweise, die du schon aus der Grundschule kennst. Anstatt den Operator der Elementbeziehung ∈ zu verwenden, schreiben wir einfach 1 < 3. Ebenso schreiben wir gewöhnlich nicht (5, 5) ∈ =, sondern 5 = 5.