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Algebraischer Körper

Um die folgenden Ausführungen zu verstehen, brauchst du keine besonderen mathematischen Fertigkeiten oder Kenntnisse. Es genügt, die absoluten Grundlagen der Schulmathematik zu verstehen und Lust zu haben, etwas Neues zu lernen.

Das Schreckgespenst namens algebraischer Körper

Wenn dir schon der Name algebraischer Körper Angst einjagt, dann sei beruhigt: Es gibt wirklich nichts zu fürchten. Ein solcher Körper ist in Wirklichkeit eine sehr einfache Sache, wenn man ihn aus dem richtigen Blickwinkel betrachtet.

Ein algebraischer Körper ist eine beliebige Menge plus zwei zweistellige Verknüpfungen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Das ist alles. Nicht mehr und nicht weniger. Wie du siehst, ist das nichts Gefährliches oder Furchterregendes. Und sobald wir das wissen, können wir uns schon ohne Angst etwas genauer umschauen.

Menge der Elemente des Körpers

Unsere beliebige Menge bezeichnen wir mit T und ihre Elemente nennen wir Elemente des Körpers. Glaub mir, die Menge der Elemente des Körpers kann völlig beliebig sein. Das kann die Menge aller geraden Zahlen sein, die Menge aller Socken, zu denen du keine zweite passende hast, oder zum Beispiel deine Sammlung von Plüschelefanten. Die einzige Bedingung ist wohl, dass die Menge T nicht leer sein darf. Sonst hätten wir nämlich nicht viel Spaß.

Zweistellige Verknüpfung

Wenn dir nicht sofort klar ist, was eine zweistellige Verknüpfung eigentlich ist, kannst du sie dir als eine kleine Mühle vorstellen. Du wirfst zwei (daher das „zweistellig“ im Namen) Elemente einer Menge hinein, drehst leicht an der Kurbel und heraus fällt ein weiteres Element deiner Menge. Eine solche schöne zweistellige Verknüpfung ist zum Beispiel die Division. Interessiert dich, wie viel 10 / 5 ist? Nimm dir die zweistellige Verknüpfung Division (die Mühle), wobei deine Menge die Menge der reellen Zahlen ist. In die Mühle schüttest du zuerst die Zehn und dann die Fünf, drehst an der Kurbel und, oh Wunder, heraus fällt die Zwei.

Wir nennen unsere zwei Verknüpfungen Addition und Multiplikation und bezeichnen sie mit ⊕ und ⊗. Lass dich von den Namen nicht täuschen. Mit der Addition und Multiplikation, die wir normalerweise verwenden, müssen diese Verknüpfungen nicht viel gemeinsam haben. Das liegt genau daran, dass die Elemente des Körpers beliebige Objekte sein können. Und auf Plüschelefanten oder Socken lässt sich „unsere“ Addition und Multiplikation nun einmal nicht anwenden.

Verknüpfungen auf dem Körper

Die Verknüpfungen ⊕ und ⊗ müssen bestimmte Bedingungen erfüllen. Wir können sie nicht völlig beliebig einführen. Der Sinn dieser Verknüpfungen ist nämlich die Verallgemeinerung der gewöhnlichen Addition und Multiplikation, die wir auf Zahlen anwenden. Wir wollen, dass sich diese Verknüpfungen so einführen lassen, dass wir sie auf Elemente des Körpers anwenden können, die, wie wir bereits wissen, völlig beliebige Objekte sein können, also nicht nur Zahlen. Trotzdem wollen wir, dass die Verknüpfungen ⊕ und ⊗ einen gewissen Grundsinn der Addition und Multiplikation behalten. Das erreichen wir, indem wir zehn Bedingungen festlegen, die diese Verknüpfungen erfüllen müssen, damit unsere Struktur ein Körper ist. Diese Bedingungen nennen wir Körperaxiome. Hier sind sie:

  1. Kommutativgesetz der Addition – Für beliebige zwei Elemente a, b des Körpers T muss a ⊕ b = b ⊕ a gelten.
  • Assoziativgesetz der Addition – Für beliebige drei Elemente a, b, c des Körpers T muss (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) gelten.
  • Existenz eines Nullelements – Es muss ein Element des Körpers T existieren, das wir mit 0 bezeichnen (Achtung, nicht mit der Zahl 0 verwechseln) und das die Eigenschaft hat, dass für jedes Element a des Körpers T gilt: a ⊕ 0 = a.
  • Existenz eines inversen Elements der Addition – Zu jedem Element a des Körpers T muss ein Element des Körpers T existieren, das wir mit -a bezeichnen und das die Eigenschaft hat, dass a ⊕ −a = 0 gilt.
  • Kommutativgesetz der Multiplikation – Für beliebige zwei Elemente a, b des Körpers T muss a ⊗ b = b ⊗ a gelten.
  • Assoziativgesetz der Multiplikation – Für beliebige drei Elemente a, b, c des Körpers T muss (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) gelten.
  • Existenz eines Einselements – Es muss ein Element des Körpers T existieren, das wir mit 1 bezeichnen (Achtung, nicht mit der Zahl 1 verwechseln) und das die Eigenschaft hat, dass für jedes Element a des Körpers T gilt: a ⊗ 1 = a.
  • Existenz eines inversen Elements der Multiplikation – Zu jedem Element a des Körpers T, das ungleich 0 ist, muss ein Element des Körpers T existieren, das wir mit a−1 bezeichnen und das die Eigenschaft hat, dass a ⊗ a−1 = 1 gilt.
  • Distributivgesetz – Für beliebige drei Elemente a, b, c des Körpers T muss a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) gelten.
  • Nichttrivialität – Das Nullelement und das Einselement dürfen nicht ein und dasselbe sein. Also 0 ≠ 1

Für alle, die sich im mathematischen Formalismus üben möchten, habe ich hier die Körperaxiome so aufgeschrieben, wie man sie in der Fachsprache der Mathematik notiert.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Vielleicht denkst du jetzt, dass es schrecklich viele Axiome sind. Alle sind aber leicht zu verstehen, wenn man sich klarmacht, was sie bedeuten. Die ersten vier beschreiben die üblichen Eigenschaften der Addition und die nächsten vier die üblichen Eigenschaften der Multiplikation, die den ersten vieren außerdem sehr ähnlich sind. Das neunte Axiom sagt, in welchem Verhältnis Addition und Multiplikation zueinander stehen. Nur das zehnte ist eher eine technische Angelegenheit, die sicherstellt, dass der Körper keine seltsamen Eigenschaften haben kann.

Beachte, wie schön wir es vermieden haben, die Subtraktion und Division einzuführen. Diese Verknüpfungen sind mithilfe der Addition des Gegenelements und der Multiplikation mit dem inversen Element definiert. Zum Beispiel ist 4 − 2 nur eine Abkürzung für 4 + (−2) und 4 / 2 nur eine Abkürzung für 4 · 2−1.

Eine Auswahl an Körpern

Nun haben wir den Begriff des algebraischen Körpers formal eingeführt. Wenn wir anschaulich ausdrücken wollten, was ein Körper eigentlich ist, können wir sagen, dass es eine Struktur ist, die es uns ermöglicht, beliebige Objekte, auf denen wir diese Verknüpfungen definieren können, zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, und zwar auf ähnliche Weise, wie wir diese Rechenoperationen in der elementaren Arithmetik ausführen.

Unser erster Körper

Nachdem wir uns Körper so schön ausgedacht und beschrieben haben, wollen wir einen richtigen Körper konstruieren. Zuerst wählen wir die Menge der Elemente des Körpers. Mit Plüschelefanten oder Socken experimentieren wir vorerst nicht zu sehr und wählen als Elemente des Körpers natürliche Zahlen. Damit alles wirklich einfach wird, nehmen wir nur die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4. Unsere Menge T sieht also so aus:

T={0;1;2;3;4}

Jetzt müssen wir nur noch die Verknüpfungen ⊕ und ⊗ geschickt definieren. Dabei helfen wir uns mit der Addition und Multiplikation, die wir schon aus der Arithmetik kennen. Wir passen sie aber ein wenig an, damit sie auch auf unserem Körper funktionieren.

  • Verknüpfung ⊕ Die Summe zweier Elemente a ⊕ b bilden wir so, dass wir den Rest der Summe a + b bei Division durch fünf berechnen. Die Additionen in unserem Körper sehen also so aus: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 usw.
  • Verknüpfung ⊗ Das Produkt zweier Elemente a ⊗ b bilden wir so, dass wir den Rest des Produkts ab bei Division durch fünf berechnen. Die Multiplikationen in unserem Körper sehen also so aus: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    usw.

Und fertig. Jetzt haben wir einen vollwertigen Körper hergestellt. Es wäre noch gut, die Gültigkeit aller Axiome zu überprüfen, damit wir sicher sind, dass wir wirklich einen Körper hergestellt haben und nicht irgendein Machwerk.

  • Das Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation kannst du sicher selbst überprüfen, ebenso das Distributivgesetz.
  • Aus der Art, wie wir Addition und Multiplikation definiert haben, folgt auch, dass ein Nullelement existiert (in unserem Fall ist es zufällig gerade die Zahl 0) und ein Einselement (in unserem Fall 1), die voneinander verschieden sind.
  • Jetzt bleibt uns also nur noch, die Existenz des inversen Elements der Addition und der Multiplikation zu überprüfen. Wir sehen bestimmt alle, dass es zu jeder Zahl aus der Menge {0; 1; 2; 3; 4} eine Zahl aus derselben Menge gibt, sodass das Ergebnis ihrer Summe null oder fünf ist (also in unserem Körper 0).
  • Ähnlich gilt das auch für die Multiplikation: Zu jeder von null verschiedenen Zahl aus dieser Menge gibt es eine Zahl, mit der das Produkt bei Division durch fünf den Rest 1 ergibt (also in unserem Körper 1). Zum Beispiel hat die Zahl 4 das inverse Element 4, denn 4 · 4 = 16 und bei Division durch 5 bleibt der Rest 1. Versuche, die übrigen inversen Elemente zu finden!

Beispiele für weitere Körper

Vor einer Weile haben wir einen Körper hergestellt, der fünf Elemente hat. Es zeigt sich, dass sich auf dieselbe Weise auch weitere Körper herstellen lassen, bei denen die Anzahl der Elemente eine Primzahl ist. Solche Körper heißen Restklassenkörper und werden mit Zp bezeichnet, wobei p die Anzahl der Elemente des Körpers ist. Sie werden sehr häufig verwendet, sowohl in der Mathematik und Informatik als auch natürlich in verschiedenen Klassenarbeitsaufgaben.

Lassen sich auch Körper herstellen, deren Elementanzahl keine Primzahl ist? Ja, aber nicht mehr auf die Weise, die ich vorhin gezeigt habe. Warum? Stell dir einen Körper vor, der nach dem oben beschriebenen Verfahren hergestellt wurde und nur vier Elemente hat. In einem solchen Körper gilt 2 ⊗ 2 = 0. Das Produkt zweier von null verschiedener Zahlen ist also null. Das darf in einem Körper nicht passieren. Es ist zwar in den Körperaxiomen nicht direkt verboten, lässt sich aber ziemlich leicht aus ihnen herleiten. Es zeigt sich jedoch, dass man mit Polynomen anstelle von Zahlen als Elementen des Körpers auch Körper herstellen kann, deren Elementanzahl eine Primzahlpotenz ist. Ein Körper mit vier Elementen existiert also, denn die Vier ist eine Potenz der Zwei.

Natürlich gibt es auch Körper mit unendlich vielen Elementen. So bildet zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen mit unseren üblichen Verknüpfungen Addition und Multiplikation ebenfalls einen Körper. Das gilt natürlich nicht nur für die reellen Zahlen, sondern auch für die rationalen und die komplexen. Die natürlichen und die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, weil in ihnen die inversen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation fehlen.

Und das Beste zum Schluss. Niemand schreibt uns natürlich vor, dass Körper aus Zahlen, Polynomen oder überhaupt irgendwelchen mathematischen Objekten bestehen müssen. Wie ich schon sagte, kannst du dir einen Körper aus Socken, Plüschelefanten usw. herstellen. Das einzige Problem wird wohl sein, wie man auf Elefanten Addition und Multiplikation definiert. Interessant ist dabei, dass es dir nie gelingen kann, einen Körper herzustellen, der sechs Socken enthält. Denn die Sechs ist weder eine Primzahl noch eine Primzahlpotenz. Du kannst aber ohne Weiteres einen Körper herstellen, der siebzehn Socken umfasst, jede davon nummerieren (die weiße Socke ist die 0, die schwarze die 1, die grüne die 2 usw.) und sie dann genauso addieren, wie wir es im Restklassenkörper getan haben.

Und wozu das Ganze?

Wenn du bis hierher gelesen hast, fragst du dich vielleicht, wozu um Himmels willen wir eine so verrückte Struktur wie den algebraischen Körper brauchen. Nun, Körper sind sehr wichtig, und zwar sowohl aus theoretischer Sicht, weil sie das beschreiben und vor allem verallgemeinern, was man Rechnen, also Arithmetik, nennen könnte, als auch aus praktischer Sicht, weil sich viele mathematische oder informatische Probleme leichter lösen lassen, wenn wir sie uns als Rechnen in Körpern vorstellen. Endliche Körper haben zum Beispiel große Bedeutung für die Codes auf CDs oder DVDs. Was die lineare Algebra selbst betrifft, sind Körper außerdem der Grundstein für weitere, kompliziertere und damit auch viel nützlichere und interessantere Strukturen, wie zum Beispiel Vektorräume. Diese bilden nämlich so etwas wie die Grundlage der gesamten linearen Algebra.

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Der Autor dieses Artikels ist Lishaak.