Matrix

Eine Matrix über einem Körper P ist eine Abbildung {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Matrizen bezeichnet man üblicherweise mit Großbuchstaben: A = (…). Und jetzt auf Deutsch.

Grundbegriffe

Eine Matrix ist kurz gesagt eine Tabelle mit n Spalten und m Zeilen, wobei diese Bezeichnung von Zeilen und Spalten nicht immer gleich ist – Vorsicht. In jeder Zelle der Tabelle steht dann eine Zahl oder ein anderer Term. Eine Matrix muss nicht rein numerisch sein, auch wenn du am Anfang höchstwahrscheinlich keinen anderen Matrizen begegnen wirst. Wie also kann eine Matrix aussehen:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Diese Matrix hat zwei Zeilen und drei Spalten. Die Elemente der Matrix bezeichnet man mit Indizes und statt des Großbuchstabens verwendet man den Kleinbuchstaben: a₁₁ = 0 oder a₂₃ = 51. Der erste Index gibt die Zeile an und der zweite die Spalte.

Spezielle Matrixtypen

Matrizen können verschiedene Eigenschaften haben und manche spezielle Matrizen haben sogar eigene Namen.

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Zeilen wie Spalten hat. Ist die Matrix nicht quadratisch, ist sie rechteckig. Beispiel einer quadratischen Matrix:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Die Nullmatrix ist eine Matrix, die an allen Positionen Nullen hat. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonale Einsen und überall sonst Nullen hat. Die Hauptdiagonale ist gewissermaßen die „Diagonale“ von links nach rechts. Es sind einfach die Zahlen an den Koordinaten, an denen i = j gilt.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Eine Matrix in Stufenform ist eine Matrix, die Nullzeilen am Ende hat (oder keine Nullzeilen hat) und bei der jede Zeile, die keine Nullzeile ist, am Anfang mehr Nullen hat als die vorherige Zeile. Das sind alles Matrizen in Stufenform:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Die transponierte Matrix zur Matrix A ist die Matrix A^T, für die $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ gilt, d. h. das Element, das in der i-ten Zeile und j-ten Spalte stand, steht in der transponierten Matrix in der j-ten Zeile und i-ten Spalte. Du vertauschst also einfach die Zeilen der Matrix mit den Spalten.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix A, die die Gleichung A = A^T erfüllt. Elemente, die symmetrisch zur Diagonale liegen, sind gleich. Wir können also schreiben, dass a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Eine schiefsymmetrische Matrix ist fast dasselbe wie eine symmetrische Matrix, nur haben die Elemente auf der anderen Seite das entgegengesetzte Vorzeichen: A = −A^T. Deshalb müssen die Elemente auf der Hauptdiagonale null sein, denn a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, die überall außer auf der Hauptdiagonale Nullen hat. Genauer gesagt müssen überall sonst Nullen stehen, was auf der Hauptdiagonale steht, ist nicht festgelegt.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Grundlegende Operationen mit Matrizen

Matrizen können wir addieren, wir können sie mit einer Zahl multiplizieren und wir können auch Matrizen miteinander multiplizieren.

Die Addition von Matrizen ist ziemlich intuitiv. Sind die Matrizen vom selben Typ (= gleiche Anzahl an Spalten und Zeilen), hat die resultierende Matrix an denselben Positionen die Summen der Zahlen an den entsprechenden Positionen in den ursprünglichen Matrizen. Wenn wir also die Matrizen A + B = C addieren, dann gilt a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Die Addition von Matrizen ist offensichtlich kommutativ und assoziativ. A + B = B + A und A + (B + C) = (A + B) + C.

Die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl ist ebenfalls intuitiv. Du nimmst die Zahl und multiplizierst damit jedes Element der Matrix, nichts weiter. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Multiplikation von Matrizen

Die Multiplikation von Matrizen ist schon etwas unangenehmer, denn sie ist nicht mehr so intuitiv, wie man erwarten würde. Es genügt nicht, nur die entsprechenden Elemente zu multiplizieren. Zunächst müssen die Matrizen das Kriterium erfüllen, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein muss. Der Rest kann beliebig sein. Jetzt können wir das Produkt definieren (n ist die Anzahl der Spalten der ersten Matrix):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Jetzt weißt du Bescheid, was? Jetzt versuche ich es auch denen zu erklären, die nicht ganz so schnell sind :-). Du nimmst die erste Zeile der ersten Matrix und die erste Spalte der zweiten Matrix. Nun multiplizierst du das erste Element mit dem ersten Element, addierst das Produkt des zweiten Elements mit dem zweiten Element und addierst usw. So erhältst du in der neuen Matrix C das Element c₁₁. Am besten ist ein Beispiel. Wir multiplizieren diese zwei Matrizen:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Nun wählen wir die erste Zeile der ersten Matrix und die erste Spalte der zweiten Matrix aus:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Der Übersichtlichkeit halber bezeichnen wir die neu entstandene Matrix mit C. Wollen wir das erste Element dieser Matrix erhalten, müssen wir Folgendes berechnen: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Ich weise darauf hin, dass an erster Stelle des Index die Zeile steht, danach die Spalte. Nach dem Einsetzen erhalten wir: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Das erste Element hat den Wert 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Das nächste Element, c₁₂, erhalten wir auf dieselbe Weise, wir nehmen nur die erste Zeile und die zweite Spalte. Mit dieser langwierigen Rechnung erhalten wir immer das Element, das sie gemeinsam haben. Die erste Zeile und die erste Spalte haben das gemeinsame Element an den Koordinaten c₁₁, die erste Zeile und die zweite Spalte dagegen c₁₂. Schön zeigt das die folgende Abbildung:

Produkt von Matrizen

Jetzt multipliziere ich noch schnell den Rest der Matrix:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Diese Zahlen schreiben wir nun einfach in die Matrix:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Die Richtigkeit des Ergebnisses können wir zum Beispiel in Excel oder in OpenOffice Calc überprüfen, die Funktionen für die Arbeit mit Matrizen enthalten.

Nun ein paar allgemeine Informationen zur Multiplikation von Matrizen. Zunächst ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ. Im Allgemeinen gilt nicht A · B = B · A, auch wenn ein solcher Fall natürlich eintreten kann. Aber die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ. Mit der Addition ist sie sogar distributiv: A (B + C) = AB + AC. Multiplizieren wir zwei Matrizen a_ix · b_xn, dann ist die resultierende Matrix vom Typ i × n (sie hat so viele Zeilen, wie die erste Matrix Zeilen hat, und so viele Spalten, wie die zweite Matrix Spalten hat).

Aufgaben

Gegeben sind diese drei Matrizen:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Berechne das Produkt der Matrizen A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Berechne das Produkt der Matrizen B · A.

Achtung: Die Multiplikation von Matrizen ist nicht kommutativ, deshalb können wir keinesfalls mit Sicherheit sagen, dass das Ergebnis dasselbe ist wie im vorherigen Fall. Wir müssen einfach alles noch einmal berechnen:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Berechne die Produkte der Matrizen A · C und C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Die zweite Aufgabe können wir nicht berechnen, weil die Anzahl der Spalten der ersten Matrix von der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix verschieden ist.

Grundlegende Matrixumformungen

Um mit Matrizen effektiv arbeiten zu können, müssen wir einige elementare Matrixumformungen festlegen. Zunächst können wir eine Zeile/Spalte der Matrix mit einer von null verschiedenen Zahl multiplizieren. Die Multiplikation wirkt sich genauso aus wie das k-Fache der Matrix, aber nur in dieser einen Zeile/Spalte.

Die zweite Umformung ist das Addieren des k-Fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile. Dasselbe gilt für Spalten. Das klingt ein bisschen gruselig, ist aber in Wirklichkeit einfach. Wir zeigen es für k = 1. Wir haben diese Matrix:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nun addieren wir zur ersten Zeile die zweite Zeile. Wir nehmen also die zweite Zeile und addieren die Zahlen an den entsprechenden Positionen zu den Zahlen aus der ersten Zeile. Mit den Zahlen aus der zweiten Zeile passiert nichts, es ändert sich nur die erste Zeile:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nun können wir mit den Umformungen fortfahren. Jetzt versuchen wir, das Doppelte der ersten Zeile zur dritten Zeile zu addieren. Wir nehmen aus dieser neu entstandenen Matrix die erste Zeile, multiplizieren sie mit zwei, wodurch wir die Zeile (10, 14, 18) erhalten, und addieren diese Zahlen zur dritten Zeile. Wieder gilt – die erste Zeile ändert sich nicht, es ändert sich nur die dritte Zeile:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Jetzt addieren wir zur dritten Zeile wieder die Summe der ersten und der zweiten Zeile. Im Grunde ist das nichts Neues, denn wenn wir zur dritten Zeile zuerst die zweite Zeile und dann die erste Zeile addieren, müssen wir zum selben Ergebnis kommen. Die Summe der ersten und der zweiten Zeile ist gleich: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Die Summe dieser Zeile mit der dritten Zeile ist dann gleich: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Und noch eine Spaltenumformung (diese werden meist nicht so oft verwendet, weil sie nicht so übersichtlich sind). Wir addieren die erste Spalte zur zweiten Spalte:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Und ganz zuletzt multiplizieren wir die zweite Zeile mit zwei:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Lineare Abhängigkeit

Jetzt erklären wir noch, was abhängige Zeilen/Spalten sind. Eine Zeile ist linear abhängig, wenn sich diese Zeile als Linearkombination der übrigen Zeilen der Matrix ausdrücken lässt. Wenn du also Zeilen auf verschiedene Weise so addieren kannst, dass am Ende die gesuchte Zeile herauskommt, ist diese Zeile linear abhängig. Beispiel:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Nimmst du das Doppelte der ersten Zeile und die zweite Zeile, erhältst du die dritte Zeile. Wenn du diese Kombination von der dritten Zeile subtrahierst, erhältst du eine Nullzeile (eine Zeile, die nur aus Nullen besteht). Diese Zeile ist abhängig. Die Umformungen führen wir also so durch (wir multiplizieren die erste Zeile mit zwei, addieren sie zur zweiten Zeile, subtrahieren sie von der dritten):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Haben wir eine Matrix A mit n Zeilen und bezeichnet A_i die i-te Zeile, dann sagen wir, dass die Matrix keine linear abhängige Zeile enthält, wenn:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

genau dann, wenn α₁, α₂, …, α_n = 0. Die Null auf der rechten Seite der Gleichung stellt die Nullzeile dar. D. h. wenn die einzige Lösung dieser Gleichung die triviale Lösung ist. Finden wir eine andere Lösung, dann enthält die Matrix eine linear abhängige Zeile. Analog für Spalten. Für die vorherige Matrix würde gelten:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Die Werte von Alpha sind also α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Die Anzahl der unabhängigen Zeilen oder Spalten gibt den Rang der Matrix an.

Reguläre und singuläre Matrizen

Eine Matrix heißt regulär, wenn sie maximalen Rang hat (d. h. wenn in ihr keine linear abhängige Zeile vorkommt) und wenn sie quadratisch ist. Eine quadratische Matrix heißt singulär, wenn sie nicht regulär ist (d. h. wenn die Matrix mindestens eine linear abhängige Zeile enthält). Diese beiden Begriffe sind ziemlich wichtig, bzw. auf ihnen beruhen oft Definitionen. Vieles ist nur definiert, wenn die Matrix regulär ist.