✖

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, denen wir im Alltag am häufigsten begegnen. Es sind die positiven ganzen Zahlen, also die Zahlen 1, 2, 3, 4, …

Schreibweise

Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge, die die positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, … enthält. Diese Menge bezeichnen wir üblicherweise mit dem Buchstaben N mit doppeltem ersten Strich, so: ℕ. Das kommt vom englischen „naturals“.

Manchmal nimmt man an, dass die Menge der natürlichen Zahlen auch die Null enthält. Wenn wir das unterscheiden müssen, verwenden wir meist das gewöhnliche ℕ für die Menge ohne Null, und wenn wir die Null dabeihaben wollen, schreiben wir sie in den Index: ℕ0. Oft verwenden wir außerdem die Schreibweise mit einem Plus, um zu betonen, dass wir mit den natürlichen Zahlen ohne Null rechnen: ℕ+.

Natürliche Zahlen verwenden wir vor allem, um die Anzahl von etwas anzugeben („wir haben drei Stühle zu Hause“, „im Park stehen dreißig Bänke“, …) und um eine Reihenfolge anzugeben („der erste Mensch auf dem Mond“, „Kanada ist das zweitgrößte Land der Welt“, …).

Eigenschaften

Die natürlichen Zahlen haben einige interessante Eigenschaften:

  1. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, aber abzählbar: Wir können sie alle in einer Folge anordnen.
  • Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation. Das bedeutet: Wenn wir zwei beliebige natürliche Zahlen addieren oder multiplizieren, erhalten wir wieder eine natürliche Zahl.
  • Unter der Subtraktion sind sie nicht abgeschlossen, denn wenn wir eine größere Zahl von einer kleineren abziehen, erhalten wir eine negative Zahl.
  • Ebenso sind sie nicht abgeschlossen unter der Division, zum Beispiel ist 7/2 keine natürliche Zahl.

Division mit Rest

Im vorigen Kapitel haben wir gesagt, dass die natürlichen Zahlen nicht unter der Division abgeschlossen sind. Wir können aber die Division mit Rest definieren, die du sicher kennst. Wenn wir 7/2 rechnen, erhalten wir 3,5. Verwenden wir die Division mit Rest, erhalten wir das Ergebnis 3 und den Rest 1. Wenn wir also 3 · 2 rechnen und den Rest addieren, erhalten wir wieder 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Die natürlichen Zahlen sind zwar nicht abgeschlossen unter dieser Operation, die natürlichen Zahlen einschließlich der Null aber schon. Sowohl der ganzzahlige Quotient als auch der Rest liegen also in der Menge ℕ0.

Die Definition der Division mit Rest sieht so aus:

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

In der Definition haben wir a:b gerechnet, die Zahl r heißt Rest der Division und q ist das Ergebnis der Division. Was bedeuten die Bedingungen? Wir nehmen an, dass wir uns in den natürlichen Zahlen einschließlich der Null bewegen, aber weil wir nicht durch null teilen können, wählen wir b aus der Menge ohne Null.

Nehmen wir als Beispiel die Rechnung 19 : 5. Es gilt a = 19 und b = 5. Die Zerlegung sieht so aus:

19=5⋅3+4

Also ist q = 3, das ist das Ergebnis der Division, und r = 4, das ist der Rest.