Φυσικοί αριθμοί

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που συναντάμε πιο συχνά στην καθημερινή ζωή. Πρόκειται για τους μη αρνητικούς ακέραιους, δηλαδή τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, …

Συμβολισμός

Οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν ένα σύνολο που περιέχει τους μη αρνητικούς ακέραιους 0, 1, 2, 3, 4, … Το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε συνήθως με το γράμμα N με διπλή την πρώτη κάθετη γραμμή, ως εξής: ℕ. Προέρχεται από το αγγλικό «naturals».

Μερικές φορές θεωρούμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν περιέχει το μηδέν. Όταν χρειάζεται να το ξεχωρίσουμε, χρησιμοποιούμε το κλασικό ℕ για το σύνολο με το μηδέν και το ℕ^∗ για το σύνολο χωρίς το μηδέν. Συχνά χρησιμοποιείται επίσης ο συμβολισμός με το συν, ℕ⁺, για να τονίσουμε ότι εννοούμε τους φυσικούς αριθμούς χωρίς το μηδέν.

Τους φυσικούς αριθμούς τους χρησιμοποιούμε κυρίως για να καθορίσουμε την ποσότητα κάποιου πράγματος («έχουμε στο σπίτι τρεις καρέκλες», «στο πάρκο υπάρχουν τριάντα παγκάκια», …) και για να καθορίσουμε τη σειρά («ο πρώτος άνθρωπος στη Σελήνη», «ο Καναδάς είναι η δεύτερη μεγαλύτερη χώρα του κόσμου», …).

Ιδιότητες

Οι φυσικοί αριθμοί έχουν μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες:

1. Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο, αλλά είναι αριθμήσιμο: μπορούμε να τους διατάξουμε όλους σε μια ακολουθία.

• Οι φυσικοί αριθμοί είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Αυτό σημαίνει ότι αν προσθέσουμε ή πολλαπλασιάσουμε οποιουσδήποτε δύο φυσικούς αριθμούς, παίρνουμε ξανά φυσικό αριθμό.
• Δεν είναι κλειστοί ως προς την αφαίρεση, γιατί αν αφαιρέσουμε μεγαλύτερο αριθμό από μικρότερο, παίρνουμε αρνητικό αριθμό.
• Ομοίως δεν είναι κλειστοί ούτε ως προς τη διαίρεση, για παράδειγμα το 7/2 δεν είναι φυσικός αριθμός.

Ευκλείδεια διαίρεση

Στην προηγούμενη ενότητα είπαμε ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι κλειστοί ως προς τη διαίρεση. Μπορούμε ωστόσο να ορίσουμε την ευκλείδεια διαίρεση, την οποία σίγουρα γνωρίζεις. Αν διαιρέσουμε 7/2, παίρνουμε 3,5. Αν χρησιμοποιήσουμε την ευκλείδεια διαίρεση, παίρνουμε πηλίκο 3 και υπόλοιπο 1. Δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε 3 · 2 και προσθέσουμε το υπόλοιπο, παίρνουμε πάλι 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Οι φυσικοί αριθμοί χωρίς το μηδέν δεν είναι λοιπόν κλειστοί ως προς αυτή την πράξη, μαζί με το μηδέν όμως είναι. Δηλαδή και το πηλίκο και το υπόλοιπο ανήκουν στο σύνολο ℕ.

Ο ορισμός της ευκλείδειας διαίρεσης είναι ο εξής:

$$\alpha =\beta \pi +\upsilon ;\alpha ,\pi ,\upsilon \in \mathbb{N},\beta \in {\mathbb{N}}^{\ast },\upsilon <\beta$$

Στον ορισμό διαιρούσαμε α:β, ο αριθμός υ λέγεται υπόλοιπο της διαίρεσης και ο π πηλίκο. Τι σημαίνουν οι συνθήκες; Θεωρούμε ότι κινούμαστε στους φυσικούς αριθμούς μαζί με το μηδέν, αλλά επειδή δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, επιλέγουμε το β από το σύνολο χωρίς το μηδέν.

Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του 19:5 θα ίσχυε: α = 19 και β = 5. Η ανάλυση θα έμοιαζε ως εξής:

$$19=5\cdot 3+4$$

Δηλαδή π = 3 είναι το πηλίκο και υ = 4 είναι το υπόλοιπο.

Σύνδεσμοι

• Βικιπαίδεια