Integral

El proceso de integrar una función es el inverso del proceso de derivar una función.

Primitiva

Empecemos con un problema fácil. Sea la función f(x) = 2x. Busquemos ahora una función F que, al derivarla, sea igual a la función f. Escrito formalmente, buscamos una función F tal que F′ = f.

De las fórmulas básicas para calcular derivadas sabemos que esa función es F(x) = x². La derivada de la función x² es precisamente 2x. La cuestión es si esta es la única función que cumple la condición.

La respuesta es que no: si a la función x² le sumamos cualquier constante real, al derivarla obtendremos de nuevo la función 2x, porque la derivada de una constante es cero. Cualquier función de la forma x² + c, donde c es una constante real, puede considerarse la función F que buscamos.

Podemos generalizar este problema. Dada una función real f, busquemos una función F para la que se cumpla F′(x) = f(x) para todo x de Dom f, o de algún intervalo del dominio. Esta función no tiene por qué estar determinada de forma única; por otro lado, tampoco tiene por qué existir.

A esta función F la llamamos primitiva de la función f. Lo escribimos:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

La función f se llama integrando, y al proceso de hallar la primitiva se le llama integración. La expresión dx indica respecto de qué variable integramos. Si escribimos el ejemplo así

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

queremos hallar una primitiva de la función 4x³, integrando respecto de la variable x. El resultado puede ser la función x⁴, que al derivarla es igual precisamente a 4x³. Por supuesto, a esta función podemos sumarle una constante real cualquiera.

Se puede demostrar que una primitiva o bien no existe, o bien es siempre de la forma F(x) + c, donde c es alguna constante real, y entonces hay infinitas, porque tenemos infinitas constantes reales. Así, si hallamos la función F(x), podemos generar todas las primitivas. Al mismo tiempo, ninguna otra función que no generemos por este camino es primitiva de la función que buscamos.

Unas palabras más sobre la expresión dx. Parece muy misteriosa, pero realmente solo indica respecto de qué variable integramos. Si, por ejemplo, tenemos la integral

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

significa que integramos respecto de la variable b y las demás letras, a y c, se comportan como constantes. Es decir, se comportan igual que si ahí hubiera números.

Integración de funciones elementales

Podemos deducir fácilmente las fórmulas para calcular las primitivas de algunas funciones elementales. A lo largo de todo el capítulo supondremos que c ∈ ℝ.

Empecemos con la función f(x) = 0, la función nula. ¿Qué función es igual a cero después de derivarla? Cualquier función que contenga solo una constante:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Sigue la función f(x) = 1. Se cumple que x′ = 1, así que la integral de uno será igual a

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

La siguiente es la función f(x) = x. ¿Qué función tenemos que derivar para obtener como resultado x? Si derivamos x², obtenemos 2x. Casi hemos llegado adonde queríamos. Basta con dividir entre dos. Si derivamos (x²)/2, obtenemos precisamente x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Si lo generalizamos a la función xⁿ, donde n ∈ ℝ, obtenemos la fórmula:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Fíjate en que esta fórmula no vale para n = −1, porque dividiríamos entre cero y eso no se hace, no está bien. Así que si tenemos n = −1, obtenemos la función f(x) = x⁻¹, que es la función 1/x. ¿Qué función tenemos que derivar para obtener 1/x? Es el logaritmo.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

El problema es que el logaritmo está definido solo para números reales positivos, así que esta fórmula no vale para todo x de Dom f. Sin embargo, vale para el intervalo (0, +∞). Para el intervalo (−∞, 0) basta con cambiar el signo del argumento del logaritmo: ln(−x). Si lo juntamos, podemos escribir

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Esta fórmula vale para todo x ∈ Dom f. Otras integrales, por ejemplo de funciones trigonométricas, las encontrarás en la siguiente tabla:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{para }a>0,a\ne 1\\ \int \mathrm{sen}x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \mathrm{sen}x+c\end{array}$$

Integral de una suma

Mientras que calcular las derivadas de una función suele ser bastante sencillo y, como se dice, lo sabe hacer hasta un mono amaestrado, porque normalmente se procede directamente según las fórmulas, con las integrales la situación es otra. Los procedimientos para calcular integrales son bastante más complicados, por lo que hallar una integral es mucho más difícil que calcular una derivada. Esto se debe sobre todo a que tenemos una fórmula cómoda para la integral de una suma, pero no para la de un producto.

Probemos a calcular esta integral:

$$\int x+1\text{ d}x$$

¿Cómo podríamos calcularla? Necesitamos una función que al derivarla dé x y otra función que dé 1. De las fórmulas ya sabemos que se trata de las funciones (x²)/2 y x. Si sumamos estas funciones, obtenemos f(x) = (x²)/2 + x. Al derivar esta función obtenemos x + 1. Con ello hemos obtenido el resultado:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Durante el cálculo hemos usado una propiedad: la integral de una suma es igual a la suma de las integrales. Es decir,

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Vale igualmente para la resta:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Por eso pudimos descomponer el ejemplo anterior así:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Sacar una constante como factor común

Una propiedad parecida vale también para sacar una constante fuera de la integral. Si tenemos una integral de la forma:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

donde a es una constante real, podemos sacar esta constante fuera de la integral:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Ejemplo

Calcula la integral:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

En el primer paso la descomponemos en tres integrales:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Resolveremos las integrales una por una. La primera integral podemos resolverla directamente con la fórmula para las potencias xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

En la segunda integral sacamos primero el seis como factor común:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

La integral de x es de nuevo una integral inmediata, es igual a (x²)/2. Así obtenemos:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

En la última integral también sacamos primero 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Y esta vuelve a ser una integral inmediata:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Sumamos estas integrales parciales y tenemos el resultado:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Una observación más: en cada integral parcial hemos obtenido una constante c, así que al sumar deberíamos escribir en el resultado +3c en lugar de +c. Sin embargo, c es una constante real cualquiera, de modo que 3c será igual, de nuevo, a algún número real. Podríamos sustituir c en las integrales parciales por c₁, c₂, c₃ y decir después que c = c₁ + c₂ + c₃.