Sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Una sucesión puede ser infinita, si su dominio es todo el conjunto de los números naturales, o finita, si su dominio es solo un subconjunto finito de los números naturales. Si no se dice expresamente que se trata de una sucesión finita, se supone que es infinita.

Definición de sucesión

Este capítulo describe, al menos un poco, el significado de la definición de sucesión. No es imprescindible conocerlo, así que puedes saltarte todo el capítulo si quieres.

La introducción ya ha adelantado que se trata de una función que tiene como dominio los números naturales. El recorrido puede ser cualquier conjunto, pero aquí supondremos el conjunto de los números reales. ¿Qué significa esto? El cambio más visible se produce en la gráfica de la función: no será una línea continua, como suele ocurrir con las funciones habituales, sino que habrá solo puntos aislados y dispersos de la sucesión.

Una sucesión puede ser, por ejemplo, la lista de números 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Esta sucesión está definida con bastante claridad y cualquiera debería ver cómo continúa. Como se trata de una función, la tabla de correspondencia de esta sucesión sería así:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Los números de la primera columna (valores del dominio) indican, por tanto, la posición del número en la sucesión. Por ejemplo, en nuestra sencilla sucesión el número cinco ocupa el tercer lugar. Eso mismo nos dice la tabla. En el cuarto lugar de la sucesión está el siete, en el primero el uno, y así sucesivamente. De aquí se deduce también que el dominio de una sucesión finita p debería ser un conjunto de la forma

$$\mathrm{Dom}p=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

para que se trate realmente de un orden y no se salte ninguna posición. Por ejemplo, este conjunto

$$\mathrm{Dom}p=\{1,2,3,5,7\}$$

no sirve como dominio de una sucesión, porque le faltan el cuarto y el sexto elemento.

Lo que caracteriza a una sucesión es, pues, que sus elementos se pueden ordenar de algún modo: cada elemento de la sucesión, salvo el primero y el último, tiene su antecesor y su sucesor. Esta es una enorme diferencia con las funciones reales, donde nada de esto ocurre. Si tomamos la función f(x) = 2x, ¿qué valor sigue a f(5/2)? No lo sabemos: el resultado es un número real y los números reales no tienen sucesor.

Notación de una sucesión

Ya sabemos que —dicho de forma simplificada— una sucesión es una lista numerada de números. Veamos ahora cómo se puede escribir una sucesión. Normalmente la nombramos con una letra minúscula con un subíndice, por ejemplo a_i.

La primera forma es enumerar todos los valores de la sucesión. Ya nos hemos encontrado con esto en el capítulo anterior. La enumeración puede ser finita o infinita:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Nota: no estoy seguro de qué tipo de paréntesis se usa habitualmente para las sucesiones; no he encontrado una convención unánime. Yo no usaría llaves, porque estas indican conjuntos, en los que el orden no importa, mientras que en las sucesiones sí importa el orden de los términos.

La segunda posibilidad es una fórmula para el término n-ésimo de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión a_n contenía todos los números pares. Podríamos expresarlo con la fórmula

$$a_n=2n.$$

El subíndice n nos indica qué elemento de la sucesión estamos calculando. Así, si queremos conocer el primer elemento, queremos conocer a₁; si el séptimo, a₇. El séptimo elemento lo calcularíamos sustituyendo en la fórmula.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Esta notación es ventajosa porque permite calcular de inmediato cualquier elemento de la sucesión. Otra posibilidad es la notación mediante una definición recurrente. La definición recurrente nos permite calcular el término siguiente si conocemos el actual. Es decir, si conocemos el elemento a_n, nos permite calcular el elemento a_{n + 1}.

Si queremos dar una sucesión de forma recurrente, tenemos que indicar dos datos: cuál es el primer elemento y la regla para calcular el elemento (n + 1)-ésimo. Si quisiéramos dar de forma recurrente la sucesión de los números naturales pares, podríamos hacerlo así:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

¿Cómo se calcularía ahora? Sabemos que a₁ es igual a dos. Ahora sustituimos n por uno, y de ese modo a₂ se calcula sumando dos a a₁. Obtenemos cuatro, el segundo número par. Y así sucesivamente.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

La notación mediante una definición recurrente resulta útil cuando necesitamos generar una parte grande de la sucesión. En cambio, no resulta útil cuando queremos calcular un elemento concreto, porque para calcular el centésimo número par tendríamos que calcular antes los 99 números pares que lo preceden.

La última posibilidad es dar la sucesión mediante una gráfica.

Una aclaración más: una sucesión no tiene por qué tener necesariamente una fórmula sencilla, no tiene por qué ser una lista «razonable» de números. También esta lista de números es una sucesión, aunque a primera vista no tenga ningún sentido más profundo:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Gráfica de una sucesión

Las sucesiones tienen gráficas distintas de las de las funciones reales habituales. Como su dominio son los números naturales, su gráfica está formada por puntos aislados.

Progresión aritmética

La progresión aritmética es una sucesión sencilla en la que entre los términos hay una diferencia constante. Cada elemento siguiente es, por ejemplo, tres unidades mayor o diecisiete unidades menor. La cantidad en que difieren los elementos de la sucesión se llama diferencia (se denota d). En el primer caso la diferencia sería tres, en el segundo menos diecisiete y en el caso de la sucesión de los números pares sería dos. Con una fórmula, la progresión aritmética se podría escribir así:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

La fórmula general para calcular el término n-ésimo de una progresión aritmética es entonces

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Tomemos de nuevo los números pares, con diferencia dos y con el primer número par también igual a dos. Entonces el segundo número par se obtiene sumando dos al primero. Si sumamos dos otra vez, obtenemos el tercer número par.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Si quisiéramos calcular, por ejemplo, el séptimo número par, sustituiríamos en la fórmula general así:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

¿Cómo saber si una sucesión dada es una progresión aritmética? Restamos la fórmula del término n-ésimo a la del término (n + 1)-ésimo, y si obtenemos la diferencia, se trata de una progresión aritmética. Por ejemplo, tomemos la sucesión

$$a_n=2n+7.$$

¿Es esta sucesión una progresión aritmética? Empezamos expresando el término (n + 1)-ésimo:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Ahora restamos estas dos expresiones:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Vemos que tras la resta hemos obtenido d = 2, así que se trata de una progresión aritmética de diferencia dos.

Suma de los términos de una progresión aritmética

A menudo necesitamos conocer la suma de los primeros términos de una progresión aritmética. ¿Cómo lo haríamos? Intuitivamente, más o menos así. Nos quedaremos con los números pares. ¿Cuál es la suma de los tres primeros números pares? Es decir, de los números 2, 4 y 6. Naturalmente podemos sumarlos uno tras otro, pero no queremos eso, queremos una fórmula.

Modificamos la sucesión así: al primer elemento le sumamos dos y al último le restamos dos. Obtenemos 4, 4, 4. Vemos que tenemos tres números iguales, así que basta multiplicar el cuatro por el número de términos, es decir, por tres. O sea, 4 · 3 = 12.

Con cinco elementos sería así: 2, 4, 6, 8, 10. A los elementos extremos les sumamos y restamos cuatro, y a los penúltimos, dos.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

De nuevo basta multiplicar 6 · 5 = 30. ¿Qué vemos? Siempre multiplicamos el número de términos de la sucesión por el término central. En la sucesión 2, 4, 6 el del medio era el cuatro, y en la sucesión 2, 4, 6, 8, 10 era el 6. ¿Cómo calcular en general el elemento central (llamémoslo p)? Lo calculamos como la media del primer y el último término de la sucesión, es decir,

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Por ejemplo, en la segunda sucesión

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

La fórmula final para la suma de los primeros n términos de la sucesión a_n sería esta:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

La fórmula también vale para un número par de elementos, aunque en la deducción hemos usado solo un número impar de elementos.

Cómo calcular la diferencia

Cómo calcular la diferencia si conoces dos términos de la sucesión. Quedémonos con los números pares. Supongamos que conocemos estos dos términos de la sucesión

$$a_3=6,a_7=14.$$

¿Cómo calculamos la diferencia? Primero calculamos la diferencia entre estos dos elementos:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Ahora basta dividir este resultado entre el número de pasos que hay entre los dos elementos que conocemos, es decir, la diferencia de sus índices:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

La diferencia es dos. La fórmula final para calcular la diferencia d, si conocemos los elementos a_k y a_l de la sucesión:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

La gráfica de una progresión aritmética muestra un crecimiento constante o un decrecimiento constante: los puntos aislados de la gráfica están sobre una misma recta.

Progresión geométrica

La progresión geométrica se diferencia de la aritmética en que dos términos consecutivos no tienen la misma diferencia, sino el mismo cociente. A este cociente no se le llama diferencia, como en el caso de la progresión aritmética, sino razón (se denota r). Por ejemplo, podríamos tener una sucesión con r = 10 y primer elemento 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

En general, se cumple la fórmula:

$$a_{n+1}=a_n\cdot r$$

La fórmula del término general de una progresión geométrica sería esta:

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

Por ejemplo, el tercer elemento de la sucesión anterior lo calcularíamos así:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot r^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot r^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Las progresiones geométricas se pueden dividir además en otros dos grupos, según su razón. Si el valor absoluto de la razón es menor que uno, toda la sucesión se acerca a cero. Una sucesión así se llama convergente. En cambio, si el valor absoluto de la razón es al menos uno, la sucesión no se acerca a cero y se llama sucesión divergente. Para una sucesión convergente se cumple una sencilla fórmula para la suma de toda la serie (vale solo para las convergentes, porque las divergentes no tienen suma finita):

$$S_a=\frac{a_1}{1-r}.$$

Fórmula para calcular la suma de los primeros i elementos de la progresión geométrica a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{r^i-1}{r-1}$$

La deducción de la fórmula puedes leerla en Wikipedia.

La gráfica de una progresión geométrica, salvo cuando la razón es igual a uno o a cero, es un conjunto de puntos aislados que no están sobre una misma recta. Una gráfica típica de una progresión geométrica tiene este aspecto:

Si la razón es negativa, la gráfica tendrá dos ramas: