Derivada de una función

La derivada es un concepto fundamental del cálculo diferencial. Tiene un papel importante, por ejemplo, en el estudio y la representación gráfica de funciones, y por un lado es odiada por los estudiantes, mientras que por el otro hasta un mono debidamente adiestrado sabe calcular una derivada. En este artículo solo se describirán y explicarán la definición de derivada y los conceptos relacionados. Los ejemplos resueltos los encontrarás en otros artículos: ejemplos sencillos de derivadas y ejemplos más difíciles. El proceso inverso a derivar es la integración.

Qué es la derivada

Antes de llegar siquiera a la definición de derivada, veamos qué es lo que calculamos con la derivada y para qué nos puede servir después.

Con la derivada de una función obtenemos la pendiente de la recta tangente. Son muchas palabras gordas juntas, así que vamos desde el principio. Dicho de forma sencilla, la recta tangente es una recta que toca la gráfica dada en un solo punto. No es una definición precisa, esa puedes leerla, por ejemplo, en Wikipedia, pero más o menos basta. Ahora observa la siguiente figura:

La curva negra es la gráfica de la función y = x². La recta azul es la tangente a esta función en el punto D(1, 1), marcado en rojo. En verde está marcado el ángulo α que forma la tangente con el eje x; con más precisión, con el semieje positivo de abscisas. Ahora vamos a definir el concepto de pendiente de la recta tangente. En esta figura, la pendiente de la recta tangente es la tangente del ángulo alfa. La tangente es una función trigonométrica clásica con la que podemos calcular, por ejemplo, ángulos y longitudes de lados en un triángulo. Así pues, la pendiente de la recta tangente es la tangente del ángulo que dicha recta forma con el semieje positivo de abscisas. Y esta pendiente la obtenemos precisamente mediante derivadas.

Además distinguimos entre derivada de una función en un punto y derivada de una función. La derivada de una función en un punto representa precisamente la pendiente de la recta tangente en ese punto. La derivada de una función es entonces otra función, que asigna las pendientes para un argumento general x. A continuación, un ejemplo.

Motivación

Con la derivada sabemos, por tanto, calcular pendientes de rectas tangentes. ¿Para qué puede servir eso? Observa la siguiente figura:

En la figura vuelve a aparecer la función y = x² y cuatro rectas tangentes marcadas: dos verdes y dos azules. Fíjate en que la función y = x² es decreciente en el intervalo (−∞,0), mientras que en el intervalo (0,∞) es creciente. Pero ¿qué ocurre al mismo tiempo con sus rectas tangentes, o mejor dicho, con el ángulo que forman con el semieje positivo? Las tangentes azules, que son las que pasan por puntos pertenecientes al intervalo en el que la función crece, forman con el eje un ángulo menor que 90°. En cambio, las tangentes verdes forman con el eje un ángulo mayor que 90°. ¿Cómo se refleja eso en las pendientes de las rectas tangentes?

Para ello necesitamos conocer el comportamiento de la función tangente. En la siguiente gráfica vemos que, si el ángulo mide menos de 90°, el valor de la tangente es positivo (la parte resaltada en azul); por el contrario, si el ángulo es mayor que 90° pero menor que 180° (es decir, menor que π radianes), el valor de la tangente es negativo. ¿Qué conclusión podemos sacar? Si la pendiente (no olvides que la pendiente es precisamente la tangente del ángulo) de la recta tangente en el punto dado es positiva, la función es creciente en ese punto; si es negativa, es decreciente.

Definición

Antes de llegar a la definición propiamente dicha de la derivada, tenemos que recorrer un largo camino. Y para ello vamos a necesitar el límite de una función. Si no dominas los límites, vuelve a ellos o salta directamente a las fórmulas; lo que sigue probablemente no es para ti.

Antes de pasar a la pendiente de la propia recta tangente, nos detendremos en la pendiente de la recta secante, que es más sencilla. La recta secante es una recta que corta la gráfica en dos puntos. Ahora intentaremos deducir cómo calcularíamos esta pendiente. Mira la figura:

En ella vemos la gráfica de la función x² + 1 y la recta secante s, que corta la gráfica en dos puntos (0,5; 1,25) y (2, 5). Estos puntos están resaltados en azul. Como no nos interesan demasiado los valores concretos, en la gráfica estos valores están marcados de forma general como a y b y f(a) y f(b). Aquí f(a) es el valor de la función f en el punto x = a. Y, en efecto, el valor de nuestra función x² + 1 en el punto x = 2 es 2² + 1 = 5.

Ahora se trata de deducir cómo calcular el ángulo marcado como alfa, es decir, el ángulo que forma la recta secante con el eje x. Primero modificaremos un poco la figura para obtener un triángulo; así trabajaremos mejor.

¿Qué hemos hecho? Hemos unido con un segmento los puntos en los que la recta secante cortaba la gráfica de la función y = x² + 1 y hemos completado el dibujo hasta formar un triángulo rectángulo ABC. ¿En qué nos ha ayudado? El ángulo marcado como β mide lo mismo que el ángulo α (son ángulos correspondientes). Y además conocemos las longitudes de los lados AB y BC. Se cumple que |AB| = b − a (es, sencillamente, la distancia del punto b al a). De forma similar, la longitud |BC| = f(b) − f(a). ¿Cómo calculamos ahora la amplitud del ángulo β, o mejor dicho, α?

Hay que saber cómo se calcula la tangente. La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, es decir, la tangente del ángulo alfa (beta) es igual a la razón entre la longitud del lado BC y la longitud del lado AB. Lo escribimos así:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Como la pendiente es la tangente del ángulo, con esta fórmula hemos calculado la pendiente de la recta secante. Pero ¿cómo nos ayuda eso cuando queremos calcular la pendiente de la recta tangente? Imagina que vamos acercando los puntos A y C hasta que coinciden. La figura muestra el acercamiento:

Cuanto más acercamos el punto de corte superior al inferior, más cerca está la recta secante de convertirse en tangente. La recta secante original CA estaba muy lejos de ser una tangente. Cuando acercamos el punto C al punto A, obtenemos, por ejemplo, la recta secante C₁A, que ya se parece más a una tangente. La recta secante C₂A se parece todavía más, etc.

¿Cuándo se convierte la secante en tangente? En el momento en que los dos puntos de corte coinciden en uno solo, es decir, cuando para algún punto C_n se cumpla que C_n = A. En ese momento tenemos una tangente en lugar de una secante, que es lo que queríamos. La cuestión es cómo calcular la pendiente, porque no podemos restar sin más estos dos puntos, ya que son el mismo:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Esto no funciona, así no lo podemos calcular. No en vano hemos estado solo acercando los puntos dados. Vamos a necesitar, en efecto, un límite. Queremos calcular ahora la pendiente de la recta tangente en el punto dado (a, f(a)) y disponemos de las pendientes de todas las rectas secantes posibles (esas ya sabemos calcularlas). Calcularemos, pues, sucesivamente las pendientes de las rectas secantes que iremos acercando hasta que se forme la tangente. Acercaremos, por tanto, b a a. No podemos acercar los puntos hasta que sean iguales, pero sí hasta que su diferencia tienda a cero en el límite. Vaya, un límite. Es decir, acercaremos b a a hasta que en el límite sean iguales. Calculamos entonces el límite cuando b tiende a a. Eso es todo; la fórmula queda así:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Este límite se llama derivada de la función f(x) en el punto x = a. Recuerda que el ángulo α es igual al ángulo β. Normalmente no usamos las variables a y b, sino que buscamos la derivada en el punto x₀ y nos acercamos con el punto x. Entonces podemos escribir:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Hasta ahora, igual que con la continuidad de una función, tenemos definida la derivada en un punto. Si tenemos una función f(x) que es derivable en un intervalo abierto I, los valores de esta derivada definen la función f′(x), que llamamos derivada de la función.

La derivada se escribe con una prima en el superíndice, más o menos así:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

También te puedes encontrar con otra forma de escribirla, mediante dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

En la fórmula que hemos usado hace un momento podemos, por tanto, sustituir la tangente por la notación de la derivada:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

También podemos definir la derivada lateral por la derecha o por la izquierda mediante límites laterales. De eso no nos vamos a ocupar ahora, no es tan importante.

Otra definición

Otra definición de la derivada de una función en un punto tiene este aspecto:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

¿Cómo llegamos a una definición así? Basta con cambiar un poco la figura de la que hemos partido. Podemos expresar la distancia del punto a al punto b como h = b − a. Por tanto, podemos escribir el punto b como a + h, porque h es precisamente la distancia de b a a. La figura quedaría así:

Abajo tenemos los puntos a y a + h, y en el eje y tenemos f(a) y f(a + h). Ahora volvemos a formar el triángulo y calculamos la tangente del ángulo beta. Con la única diferencia de que la longitud del lado AB ya la tenemos calculada: es precisamente h.

Derivada finita e infinita

También la derivada puede ser finita o infinita, igual que los límites de funciones. ¿Qué significa eso? La derivada es finita si el valor de la derivada en el punto es igual a algún número real. La derivada es infinita si es igual a más o menos infinito. ¿Cómo imaginarlo geométricamente? ¿Cuándo es «infinita» la pendiente? Empecemos con una pregunta más fácil: ¿cómo es una recta tangente cuya pendiente es igual a un número grande? En la gráfica de la tangente (ver más arriba) se ve que, si el valor de la tangente es alto, el ángulo se acerca a 90° (si nos movemos en el intervalo (0, 180)).

De ahí se podría deducir que, si la función tiene en el punto dado una derivada infinita, la recta tangente formará con el eje x un ángulo recto, será perpendicular a él. Y así es. ¿Qué aspecto podría tener la gráfica de una función así y en qué punto sería la recta tangente perpendicular al eje x? Por ejemplo, la función $y=\sqrt[3]{x}$:

Propiedades básicas

• Para que una función tenga derivada en un punto, tiene que estar definida en algún entorno de radio épsilon de ese punto. Si ese entorno no existiera, no podríamos calcular los límites mediante los que se define la derivada.

• La unicidad de la existencia (o inexistencia) de los límites implica que, si en un punto existe la derivada, es única. Ninguna función tiene en un punto varias derivadas. O una, o ninguna.

• De forma similar a los límites laterales, si una función tiene derivada en un punto, entonces la derivada por la izquierda y por la derecha deben ser iguales.

• A veces necesitamos conocer la llamada derivada segunda. No es nada complicado: sencillamente derivamos la función una vez y después derivamos el resultado otra vez. Lo escribimos con dos primas: f''(x) = (f'(x))'.

• Propiedad importante: si una función tiene derivada en un punto, entonces la función es continua en ese punto. Se deduce, de nuevo, de las propiedades de los límites. Ojo: el recíproco no es cierto. Si una función es continua en un punto dado, eso no significa que sea derivable allí. Un ejemplo típico es la función f(x) = |x|. La gráfica tiene una punta y no se puede calcular la pendiente de la recta tangente en esa punta. Puedes intentar calcular la derivada por la izquierda y por la derecha: serán distintas.

  

• Mediante derivadas se puede resolver también el cálculo de algunos límites; para ello sirve la regla de L'Hôpital.

Enlaces

En otro artículo encontrarás una lista de fórmulas para trabajar con derivadas. Otras las encontrarás en Wikipedia.

También puedes echar un vistazo a los ejemplos resueltos de derivadas y después, si quieres, a los ejemplos más difíciles de derivadas.

Si necesitas comprobar rápidamente el cálculo de una derivada, puedes usar alguna herramienta matemática, como por ejemplo Wolfram|Alpha. Basta con escribir en su campo de entrada «derive x^2+6x» (por ejemplo) y Wolfram te calculará las derivadas de la función dada.