Ejemplos introductorios de derivadas

En este artículo veremos primero algunas fórmulas útiles para trabajar con derivadas y después intentaremos derivar varias funciones, tanto sencillas como complicadas. Si no buscas ejemplos resueltos, sino que necesitas que te expliquen la definición de derivada, ve al artículo derivada de una función.

Derivada de polinomios

Primero mencionaremos algunas fórmulas que necesitaremos para calcular la derivada de funciones que tienen forma de polinomio. A la izquierda está la función elemental que queremos derivar y a la derecha, la función resultante después de derivar. Para que quede claro: c es una constante (en la primera línea tenemos, por tanto, una función constante) y derivamos respecto de x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Algunos ejemplos concretos:

$$f(x)=5$$

Esta es una función constante, así que aplicamos la primera fórmula y obtenemos:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

La función lineal f(x) = x tiene, según la segunda fórmula, la derivada

$$f^{\prime }(x)=1,$$

y no hay nada más que investigar. Por eso probaremos a derivar la función

$$f(x)=x^5.$$

Aplicamos la última fórmula, en la que sustituimos c por el exponente, es decir, c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

La fórmula funcionaría también con un exponente negativo, así que si queremos derivar la función

$$f(x)=x^{-7},$$

obtenemos:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Para seguir jugando necesitaremos las fórmulas para sumar y multiplicar funciones. Y si quisiéramos recuperar la función original a partir de la función derivada, usaremos las integrales.

Derivada de una suma

Si queremos calcular la derivada de una función que contiene algunas expresiones sumadas, basta con calcular las derivadas de cada uno de los términos y sumar los resultados parciales. Lo escribimos así:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Un ejemplo sencillo: sea la función f(x) = x + 5. Su derivada será:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Hemos descompuesto la función en dos funciones, de esta forma:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

y simplemente hemos sustituido en la fórmula. Es decir, hemos calculado las derivadas de las funciones f₁ y f₂ y hemos sumado los resultados. Para la resta funciona de forma idéntica. Un ejemplo más complicado:

$$f(x)=x^3+x-8$$

De nuevo derivamos por separado los tres términos y dejamos la suma:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Derivada de un producto

El producto, por desgracia, no se resuelve tan fácilmente como la simple suma; para el producto de dos funciones tenemos que usar una fórmula algo complicada:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Una función trivial que contiene una multiplicación es, por ejemplo,

$$s(x)=5\cdot x^2$$

En la fórmula del producto tenemos dos funciones; las obtenemos de esta única función s(x) así: f(x) = 5 y g(x) = x². Ahora solo tenemos que sustituir:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Vemos que, si tenemos una función de la forma

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

después de derivar obtenemos

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Esta regla todavía podemos generalizarla y, en lugar de un monomio, sustituir cualquier función. Así que para cualquier función f(x) se cumple

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Como ejemplo, probemos a derivar esta función:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Al comenzar a derivar aplicamos primero la regla de la suma:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Las expresiones multiplicadas las desarrollamos según la última fórmula mencionada:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Derivamos las expresiones entre paréntesis según la regla para las derivadas de x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Y por último multiplicamos los coeficientes:

$$=15x^2-14x.$$

Derivada de un cociente

La derivada de un cociente es, a su vez, algo más complicada que la derivada de un producto. La fórmula:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Por lo demás, el procedimiento es análogo al del producto. Así que veamos enseguida un ejemplo:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

El numerador de la fracción representa la función f(x) y el denominador, la función g(x). Ahora solo tenemos que sustituir en la fórmula:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

En el denominador tenemos el denominador elevado al cuadrado y en el numerador, la fracción desarrollada según la fórmula. Ahora derivamos el primer y el último paréntesis. De nuevo aparece la regla de la suma; me la salto y escribo directamente el resultado:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Esta expresión todavía podríamos simplificarla de alguna manera, pero eso ya no es esencial en este capítulo.

Derivadas de funciones elementales

Ahora presentaremos, sin más deducción, algunas fórmulas para calcular la derivada de las funciones habituales.

Potencias y logaritmos:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Fíjate en que la derivada de la función e^x es de nuevo e^x; no es una errata, sino una propiedad agradable que se ha convertido en la base de muchísimos chistes.

Funciones trigonométricas:

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{sen}x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\text{cotg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}\end{array}$$

Un ejemplo sencillo:

$$(3\mathrm{sen}x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Las dos expresiones están sumadas, así que basta con sumar las derivadas de dichas expresiones. Cada expresión contiene al principio una constante que multiplica a la función que va detrás; sabemos que en este caso basta con derivar la función y dejar la constante sin cambiar. Lo hacemos:

$$=3(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Estas ya son derivadas inmediatas:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Derivada de una función compuesta

Por las propiedades de la derivada y por su aplicación en el estudio de una función sabemos que, bajo ciertas condiciones, podemos tener dos funciones derivables cuya composición vuelve a ser una función derivable. Veamos cómo calcular la derivada de una función compuesta así.

La derivada de una función compuesta es probablemente el concepto más difícil de estas derivadas básicas. Las funciones, como tales, podemos componerlas. Qué es una función compuesta puedes leerlo con más detalle en los artículos Qué es una función o Dominio de una función. Dicho a grandes rasgos, significa que como argumento de una función pasamos otra función. La notación simbólica sería h(g(x)). Una función concreta puede ser, por ejemplo,

$$f(x)=\mathrm{sen}(2x).$$

¿Qué dos funciones hay ahí? El seno y después la función anidada 2x. A esta función f no podemos aplicarle sin más la fórmula general para sen(x), porque esa cuenta con que en el argumento recibe x, no 2x. El cálculo de la derivada de una función compuesta se hace, por tanto, así:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Es decir, derivamos la función externa dejándole el mismo argumento y lo multiplicamos por la derivada de la función interna. En el caso de este ejemplo con el seno se cumpliría:

$$(\mathrm{sen}(2x){)}^{\prime }={\mathrm{sen}}^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Esa prima solo sobre el seno significa que derivamos únicamente el propio seno, no derivamos toda la expresión como en la expresión del lado izquierdo de la igualdad. Así que la derivada del seno es el coseno, de modo que en lugar del seno simplemente escribimos el coseno. Y la derivada de 2x es 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Otro ejemplo, algo más complicado.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Aquí tenemos una función anidada más. La función externa es el coseno, la intermedia es el logaritmo y la más interna es la potencia x². Pero seguimos de nuevo la fórmula. Lo desarrollamos:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Derivamos solo el coseno y dejamos el argumento del coseno tal como está, es decir, dejamos ahí todo el logaritmo. Toda esta expresión la multiplicamos todavía por la derivada del argumento, es decir, por la derivada del logaritmo. Derivamos el coseno y tenemos:

$$=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

La expresión de la derecha no ha cambiado; solo hemos derivado el coseno. Ahora nos ponemos con la derivada del logaritmo. De nuevo es una función compuesta, así que aplicamos recursivamente la fórmula de la función compuesta. La expresión de la izquierda simplemente la copiamos:

$$=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Derivamos el logaritmo y le dejamos el mismo argumento, es decir, x². Pero toda la expresión la multiplicamos todavía por la derivada del argumento, es decir, por la derivada de x². La derivada del logaritmo es la fracción 1/x, en la que en lugar de x sustituimos nuestro argumento x², y la derivada de x² es 2x.

$$=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\mathrm{sen}(\ln x^2)}{x}.$$