Límite de una función

El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Describe el comportamiento de una función en un entorno de un punto determinado, gracias a lo cual podemos definir, por ejemplo, la continuidad de una función. El límite nos ayuda a entender cómo se comporta una función incluso en los puntos en los que ni siquiera está definida.

Entorno de un punto

Empezamos con la definición del entorno de radio épsilon de un punto en el conjunto de los números reales. Sea r ∈ ℝ. Entonces el entorno de radio épsilon de este punto, para ϵ > 0, es el intervalo abierto (r − ϵ, r + ϵ). El entorno reducido de radio épsilon es igual, pero no contiene el punto r. El entorno reducido es (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ). El entorno de radio épsilon del punto a se denota U(a, ϵ) y el entorno reducido, R(a, ϵ).

Como ejemplo tomemos el número cinco y su entorno de radio 2. Calculamos así U(5, 2), que es el intervalo (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). El entorno reducido sería R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). Es el mismo entorno, solo que sin el punto cinco. El entorno de radio 2 del punto 5, representado gráficamente:

El entorno reducido de radio 2 tendría el mismo aspecto, solo que no incluiría el punto azul 5.

Punto de acumulación

A continuación necesitamos conocer la definición de punto de acumulación de un conjunto. Un elemento a ∈ ℝ es un punto de acumulación del conjunto M ⊆ ℝ si en todo entorno reducido suyo, por pequeño que sea, hay algún punto del conjunto M. Con más precisión:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Ejemplos: todo número real es un punto de acumulación del conjunto de los números reales. Si elegimos el número 10, en cualquier entorno reducido de este punto encontramos siempre algún número real. Para $ϵ=\frac{1}{100}$ obtenemos el entorno reducido (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). En ambos intervalos hay algún número real; con más precisión, hay infinitos números reales. Así que, por pequeño que sea el ϵ que tomemos, siempre obtendremos intervalos que contienen infinitos números reales.

Si para M eligiéramos el conjunto de los números naturales, no encontraríamos ningún punto de acumulación. Por ejemplo, el número $\frac{1}{2}$ no es un punto de acumulación, porque para $ϵ=\frac{1}{10}$ obtenemos los intervalos (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), y ninguno de ellos contiene ningún número natural.

Motivación de los límites

Empezamos con la definición más fácil: el límite finito en un punto. Primero veamos qué es, en realidad, lo que queremos calcular. Observa la siguiente gráfica de la función signo:

Si tomamos el punto x₁ = 3, el valor de la función en este punto es 1. Se cumple sgn(3) = 1. Además, para todos los puntos «cercanos» la función también tiene el valor 1, por ejemplo sgn(2,5) = 1 o sgn(3,5) = 1. Si nos acercamos al punto x₁ = 3 por la izquierda o por la derecha, los valores de la función son siempre iguales a uno.

Pero si tomamos el punto x₂ = 0, se cumple que sgn(0) = 0, ¡y sin embargo todos los puntos de alrededor tienen otro valor de la función! Por ejemplo, $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ o $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Los valores de la función por la derecha se acercan al valor 1, mientras que los valores por la izquierda se acercan al valor −1. Y al final, en el punto x₂ = 0 obtenemos el valor 0. Vaya chasco. Estos valores a los que se acerca la función en un punto dado se llaman límites de la función en el punto.

Definición de límite finito en un punto

Sea f una función y sea x₀ ∈ ℝ un punto de acumulación del dominio de f. Entonces decimos que L ∈ ℝ es el límite de la función f en el punto x₀ si

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Y ahora, qué significa esta definición. Que el punto sea finito significa en este caso que es un número real. Más adelante hablaremos de límites en el infinito. Probemos a calcular este límite:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

En funciones tan sencillas, el límite de la función en el punto x₀ es igual al valor de la función en ese punto: f(x₀). Más adelante definiremos con precisión qué significa «función sencilla». Ahora lo dibujamos todo en una figura:

La recta negra representa la gráfica de la función $f(x)=\frac{x}{3}$, el punto rojo x₀ representa el punto en el que buscamos el límite y el punto verde L representa el límite resultante. Fíjate en que el límite lo representamos en el eje y.

Sigamos la definición. En primer lugar aparece (∀ϵ > 0) y más adelante se usa ϵ en |f(x) − L|<ϵ: es la notación matemática de que queremos que todos los f(x) estén a una distancia de L menor que ϵ. Buscamos, pues, el entorno de radio ϵ del punto L en el eje y. Según la definición podemos elegir cualquier ϵ > 0; elegimos, por ejemplo, $ϵ=\frac{3}{10}$. Busquemos en el eje y los puntos que distan de L exactamente ϵ:

Todos los puntos del eje y que están entre estas líneas verdes pertenecen al entorno de radio ϵ del punto L. Son los puntos de los que habla la definición.

La definición continúa con la expresión (∃δ>0), que se utiliza después en la expresión 0<|x − x₀|<δ. Estamos diciendo que cierta diferencia x − x₀ debe ser menor que δ. Como x, x₀ están en el eje x, el valor de δ también lo representaremos en el eje x. La expresión 0<|x − x₀|<δ nos dice de nuevo que tomemos todos los x cuya distancia a x₀ sea menor que δ pero, al mismo tiempo, mayor que cero, es decir, x ≠ x₀. Esto significa que esta notación designa el entorno reducido de radio δ del punto x₀. Así, podemos reescribir la definición de límite de forma equivalente mediante entornos de puntos:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dom}f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Volvamos a la definición anterior y sigamos dibujando la figura. Para representarlo necesitamos otra parte de la definición:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Es decir, para todos los x del entorno reducido de radio δ del punto x₀ debe cumplirse… cierta condición. Añadimos a la figura el entorno reducido de radio δ del punto x₀, por ejemplo para $\delta =\frac{3}{2}$:

Todos los x que están entre las líneas rojas discontinuas pertenecen al entorno de radio δ de x₀, salvo el propio punto x₀. Volvamos a mirar la condición anterior:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Para todos los x del entorno reducido de radio δ del punto x₀ debe cumplirse que todos los valores f(x) están en el entorno de radio ϵ del punto L. Tomamos, pues, todos los x del entorno reducido de radio δ de x₀ y calculamos los valores de la función. En la siguiente figura, estos valores de la función están representados por el segmento azul:

El punto x₀ no está en el entorno reducido, por eso en ese lugar hay un círculo vacío. La definición nos dice que todos estos puntos azules deben estar en el entorno de radio ϵ del punto L. Dicho con los colores de la figura: todos los puntos azules deben estar situados entre las líneas verdes, que representan el entorno de radio ϵ. ¿Se cumple?

Claro que no; por ejemplo, para $x=\frac{16}{10}$ obtenemos evidentemente un punto azul que no está entre las líneas verdes, es decir, que no está en el entorno de radio ϵ del punto L.

Pero eso no importa: la definición dice que para cada entorno de radio ϵ del punto L debe existir algún entorno de radio δ tal que… el resto de la condición. Es decir, nos basta con que exista uno de esos entornos de radio δ. Evidentemente, $\delta =\frac{3}{2}$ no fue una buena elección, pero podemos probar con otro δ, por ejemplo $\delta =\frac{1}{2}$. La figura cambiaría así:

De nuevo comprobamos si todos los valores de la función para todos los x del entorno reducido de radio δ de x₀ están en el entorno de radio ϵ del punto L. En pocas palabras, si todos los puntos azules están entre las líneas verdes. Sí, ahora sí lo están, hurra.

¿Significa eso que L es el límite de la función en el punto x₀? No necesariamente, porque la definición dice (∀ϵ > 0) …. Hasta ahora hemos comprobado la definición para un ϵ concreto y quedan todavía… infinitos más.

Dicho de otro modo: para que realmente se cumpla $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, tendríamos que encontrar, para cada entorno de radio ϵ, algún entorno de radio δ tal que se cumpla la condición anterior. En la figura vemos que siempre encontramos un entorno de radio δ así; por ejemplo, si reducimos ϵ hasta $ϵ=\frac{1}{10}$, podemos reducir δ hasta $\delta =\frac{2}{10}$ y funcionará:

Por pequeño que sea el ϵ que tomemos, siempre debemos encontrar un δ tal que consigamos meter los valores de la función en el entorno de radio ϵ del límite L.

Demostración del límite finito en un punto

Intentemos demostrar de verdad el límite anterior. De la figura ya sabemos que probablemente

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

ahora intentaremos demostrarlo matemáticamente. De la figura podríamos deducir que si tomamos siempre para δ el mismo valor que tiene ϵ, podría salir bien. Así que pongamos δ = ϵ. Ahora debemos demostrar

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{para todo}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$$

Como hemos puesto δ = ϵ, cambiamos todos los δ por ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{para todo}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)$$

En lugar de L sustituimos 1 y en lugar de x₀ sustituimos 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{para todo}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)$$

Ahora deberíamos demostrar todas las desigualdades. Como la función $\frac{x}{3}$ es creciente, nos basta con comprobar los extremos 3 − ϵ y 3 + ϵ. Empezamos con 3 − ϵ: sustituimos en la función $\frac{x}{3}$ el valor 3 − ϵ y mostramos que este valor cumplirá siempre las desigualdades 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Lo mismo con 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Límite mal determinado

Ahora esbocemos qué ocurriría si pensáramos que el límite de la función cuando x tiende a tres vale un medio. Elegiríamos algún entorno pequeño de radio épsilon:

Y en este momento ya no podemos encontrar un entorno de radio delta del punto x₀ cuyos valores de la función quepan todos entre estas líneas verdes. Vemos que, para el entorno de radio δ elegido, todos los puntos azules quedan fuera de las líneas verdes. Si agrandáramos el entorno de radio δ, solo aumentaríamos el número de puntos azules que no logramos meter entre las líneas verdes.

Límite de la función signo

La función signo es una función preciosa que seguramente te liará la cabeza. La gráfica a continuación:

La gráfica no está del todo clara, así que una descripción con palabras: si x es negativo, el signo es menos uno; si es positivo, es más uno; y si x es cero, el signo también es cero. Modificamos la gráfica con el valor absoluto, f(x) = |sgn(x)|, y obtenemos así |sgn(0)| = 0 y, en los demás casos, |sgn(x)| = 1. Gráfica:

La pregunta es a qué es igual este límite:

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

La función está definida en el punto cero y el valor de la función también es cero. Sin embargo, eso no nos dice que el límite vaya a ser también cero. El límite puede diferir del valor de la función en ese punto.

La única forma de elegir el límite de modo que se cumpla bien la definición es elegir el límite igual a uno. También podemos ayudarnos de la intuición: ¿a qué se acerca el valor de la función cuando x se acerca a cero por la izquierda? Se acerca continuamente a uno. Que al final salte a cero no nos molesta. Análogamente, para x que se acerca a cero por la derecha.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Si dejáramos la función en su forma original, es decir, f(x) = sgn(x), entonces la función no tendría límite en el punto cero: tendría dos límites laterales distintos. Por la izquierda la función se acercaría a menos uno y por la derecha, a más uno. Puedes intentar demostrarlo a partir de la definición.

Límites que no existen

Veamos todavía algunos ejemplos en los que los límites no existen.

El ejemplo más sencillo de no existencia del límite es calcular el límite en un punto que no es un punto de acumulación de Dom f. Así, por ejemplo, no existe el límite:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Gráfica:

Las funciones periódicas a menudo no tienen límite en el infinito (¡no ocurre en todas!). Típicamente, las funciones trigonométricas, como por ejemplo el seno. La gráfica a continuación:

Simplemente, el límite en el infinito no existe: el valor del seno oscila continuamente entre uno y menos uno, por lo que el límite no se puede calcular.