Luonnolliset luvut
Luonnolliset luvut ovat yleisimpiä lukuja, joita kohtaamme arjessa. Niillä lasketaan, kuinka monta jotakin on: 0, 1, 2, 3, 4, …
Merkintä
Luonnolliset luvut muodostavat joukon, johon kuuluvat kokonaisluvuista nolla ja positiiviset luvut 1, 2, 3, 4, … Joukkoa merkitään kirjaimella N, jonka ensimmäinen pystyviiva on kaksinkertainen: ℕ. Merkintä tulee englannin sanasta ”naturals”. Suomessa nolla kuuluu luonnollisiin lukuihin, joten
Joissakin maissa ja oppikirjoissa luonnollisiin lukuihin ei lueta nollaa. Tämä kannattaa pitää mielessä, kun luet vierasta kirjallisuutta tai ulkomaisia lähteitä: siellä ℕ voi tarkoittaa lukuja 1, 2, 3, … Jos haluamme korostaa, että nolla ei ole mukana, käytämme positiivisten kokonaislukujen joukkoa ℤ+ = {1, 2, 3, …}. Tämä merkintä on yksiselitteinen riippumatta siitä, mitä luonnollisilla luvuilla kulloinkin tarkoitetaan.
Luonnollisia lukuja käytetään ennen kaikkea määrän ilmaisemiseen (”kotona on kolme tuolia”, ”puistossa on kolmekymmentä penkkiä”, …) ja järjestyksen ilmaisemiseen (”ensimmäinen ihminen Kuussa”, ”Kanada on maailman toiseksi suurin maa”, …).
Ominaisuudet
Luonnollisilla luvuilla on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia:
- Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, mutta numeroituva: voimme järjestää kaikki luvut jonoksi.
- Luonnolliset luvut ovat suljettuja yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Se tarkoittaa, että kun kerromme tai laskemme yhteen kaksi luonnollista lukua, saamme taas luonnollisen luvun.
- Ne eivät ole suljettuja vähennyslaskun suhteen, koska jos vähennämme suuremman luvun pienemmästä, saamme negatiivisen luvun.
- Samoin ne eivät ole suljettuja jakolaskun suhteen, esimerkiksi 7/2 ei ole luonnollinen luku.
Jakolasku jakojäännöksellä
Edellisessä osiossa totesimme, etteivät luonnolliset luvut ole suljettuja jakolaskun suhteen. Voimme kuitenkin määritellä jakolaskun jakojäännöksellä, joka on varmasti kaikille tuttu. Kun jaamme 7/2, saamme 3,5. Jos käytämme jakolaskua jakojäännöksellä, tulos on 3 ja jakojäännös 1. Eli jos kerromme 3 · 2 ja lisäämme jakojäännöksen, saamme taas 7: 3 · 2 + 1 = 7.
Luonnolliset luvut ovat siis suljettuja myös tämän laskutoimituksen suhteen: sekä osamäärä että jakojäännös kuuluvat joukkoon ℕ.
Jakolasku jakojäännöksellä määritellään näin:
Määritelmässä jaoimme a:b, luku r on jakojäännös ja q on osamäärä. Mitä ehdot tarkoittavat? Toimimme luonnollisten lukujen joukossa, johon nolla kuuluu, mutta koska nollalla ei voi jakaa, valitsemme luvun b positiivisista kokonaisluvuista.
Esimerkiksi laskussa 19:5 olisi a = 19 ja b = 5. Jako näyttäisi tältä:
Siis q = 3 on osamäärä ja r = 4 on jakojäännös.
