Relaatiot

Relaatio on matemaattinen vastine tavalliselle käsitteelle ”suhde”. Arjessa Emma on esimerkiksi suhteessa Ellaan, tarkemmin sanottuna suhteessa ”äiti – tytär”. Toinen tällainen suhde voi olla ”valtio – kyseisen valtion pääkaupunki”. Esimerkkinä voidaan ottaa Egypti – Kairo.

Lisää esimerkkejä relaatioista

Otetaan avuksi lisää esimerkkejä. Johdannossa mainittiin relaatiot (suhteet) ”olla tyttärensä äiti” ja ”olla valtion pääkaupunki”. Katsotaan muita: ”olla parillinen luku”. Tässä relaatiossa ovat luvut 2, 4, 8, 18, 58, 66 ja monet muut. Luvut 1, 3, −7, 19 eivät ole relaatiossa ”olla parillinen luku”. Arkielämän relaatio voi olla ”olla mies”. Eino, Onni, Leevi ja Väinö ovat relaatiossa ”olla mies”.

Toinen esimerkki on relaatio ”pienempi kuin”. Esimerkiksi luku kolme on ”pienempi kuin” luku viisi. Matemaattisesti sen voi kirjoittaa 3<5. Tai yhtäsuuruusrelaatio: luku kolme ”on yhtä suuri kuin” luku kolme, matemaattisesti 3 = 3.

Voi olla myös monimutkaisempia esimerkkejä: ”isä ja äiti ovat lapsen vanhemmat”. Tässä relaatiossa on kolmikko ihmisiä: isä Onni, äiti Helmi ja lapsi Aino. Matematiikassa voitaisiin keksiä kolmen alkion relaatio näin: kahden ensimmäisen luvun summa on yhtä suuri kuin kolmas luku. Esimerkiksi nämä luvut, tässä järjestyksessä, ovat tässä relaatiossa: 3, 4, 7, koska 3 + 4 = 7. Nämä luvut eivät ole relaatiossa: 3, 5, 12, koska 3 + 5 ≠ 12.

Relaation aariteetti

Aariteetti on oudolta kuulostava termi, joka kuitenkin kuvaa vain sitä, kuinka monta alkiota relaatiossa on. Edellisissä esimerkeissä alkioita oli eri määrä. Relaatiossa ”olla mies” riitti yksi alkio, voidaan siis sanoa: ”Leevi on mies”. Riittää yksi nimi, yksi alkio. Tällaista relaatiota sanotaan unaariseksi.

Seuraavassa esimerkissä oli relaatio ”pienempi kuin”. Siinä käsiteltiin kahta lukua, kahta alkiota. Sanottiin, että luku kolme on pienempi kuin viisi. Käytettiin kahta alkiota, joten relaatio on binäärinen.

Viimeisessä esimerkissä käytettiin yhteensä kolmea alkiota: kahden luvun summan piti olla yhtä suuri kuin kolmas luku. Oli siis luvut a, b, c ja piti päteä a + b = c. Tämä relaatio olisi ternäärinen.

Korkeammille aariteeteille voidaan käyttää merkintää n-paikkainen relaatio. Sitä voi käyttää myös pienemmille aariteeteille, binäärisen relaation voi kirjoittaa 2-paikkaisena relaationa. Relaation alkiot kirjoitetaan tällöin järjestettyinä n-monikkoina. Binäärisessä relaatiossa ne kirjoitetaan pareina, tavallisesti joko kaarisulkeilla tai hakasulkeilla. Jos siis halutaan kirjoittaa, että luvut kolme ja viisi ovat relaatiossa ”pienempi kuin”, luvut täytyy kirjoittaa parina: (3, 5), tai vaihtoehtoisesti [3, 5]. Huomaa, että järjestykseen täytyy kiinnittää huomiota, toisin päin se ei pätisi: (3, 5) ≠ (5, 3) – viisi ei ole pienempi kuin kolme.

Perheesimerkki

Ennen kuin ryhdytään matemaattisiin määritelmiin, kokeillaan vielä yhtä tyypillistä esimerkkiä perheen avulla. Olkoot yhden perheen jäsenet nämä:

• Eino: isoisä isän puolelta;
• Onni: isä;
• Helmi: äiti;
• Aino: tytär;
• Leevi: poika.

Etsitään ensin kaikki perheenjäsenet, jotka kuuluvat relaatioon ”olla mies”. Se on 1-paikkainen eli unaarinen relaatio. Relaatiossa on siis aina vain yksi alkio, yksi perheenjäsen. Nyt täytyy luetella kaikki miespuoliset perheenjäsenet. Nyt järjestyksellä ei ole väliä. Relaatio ”olla mies” sisältää siis nämä alkiot: {(Eino), (Onni), (Leevi)}. Huomaa, että vaikka kyseessä on unaarinen relaatio, käytettiin kaarisulkeita. Se ei ole millään tavalla pakollista, merkintä olisi luettava ilman niitäkin, mutta johdonmukaisuuden vuoksi jätin sulkeet. Kaikkien relaation alkioiden kokoelma on tavallinen joukko, siksi nämä kiemuraiset aaltosulkeet.

Haetaan nyt kaikki relaation ”isä – poika” alkiot. Se on jo päältä katsoen binäärinen relaatio, tuloksessa on järjestettyjä alkiopareja. Tuloksena oleva joukko näyttää tältä: {(Onni, Leevi), (Eino, Onni)}. Isä Onni on pojan Leevin isä ja isoisä Eino on isän Onnin isä. Huomaa, että järjestyksellä on todella väliä, Onni on mukana kahdesti, mutta kerran ensimmäisellä paikalla isän asemassa ja toisen kerran toisella paikalla pojan asemassa.

Kokeillaan vielä toista relaatiota: ”vanhempi – lapsi”. Tässä alkioita on enemmän, koska ensimmäisellä paikalla voi olla kumpi tahansa vanhemmista, sekä isä että äiti, ja toisella paikalla mikä tahansa lapsista, sekä poika että tytär. Täytyy myös ottaa huomioon, että isoisä Eino on Onnin vanhempi, mutta ei Helmin vanhempi. Onni ja Helmi ovat kuitenkin molemmat Ainon ja Leevin vanhempia. Aino ja Leevi eivät ole kenenkään vanhempia, koska he ovat vasta yhdeksäntoista- ja kolmetoistavuotiaita. Tuloksena ovat nämä järjestetyt parit: {(Eino, Onni), (Onni, Aino), (Onni, Leevi), (Helmi, Aino), (Helmi, Leevi)}. Huomaa, että sekä Onni että Helmi ovat mukana kahdesti – kerran tyttären Ainon vanhempina ja toisen kerran Leevin vanhempina.

Viimeinen pikku haaste binäärisistä relaatioista. Olkoon relaatio ”sisarus – sisarus”. Tässä täytyy muistaa, että relaatioissa järjestyksellä on väliä, joten jos tämän relaation tulokseksi kirjoitettaisiin vain ”Aino – Leevi”, se olisi väärin, koska kyseessä on aivan eri järjestetty pari kuin ”Leevi – Aino”. Siksi oikea tulos on: {(Aino, Leevi), (Leevi, Aino)}.

Ja vielä pieni esimerkki ternäärisestä relaatiosta: Kirjoita kaikki tämän relaation järjestetyt kolmikot: ”isoisä – isä – lapsi”. Tehtävänannossa on vain yksi isoisä ja yksi isä, mutta kaksi jälkeläistä. Ei riitä kirjoittaa vain versiota Ainon tai Leevin kanssa, molemmat täytyy luetella. Toisin olisi, jos lopussa olisi ”lapsen” sijaan ”poika”. Oikea tulos on: {(Eino, Onni, Aino), (Eino, Onni, Leevi)}.

Unaarisen relaation määritelmä

Tutkitaan yksinkertaisimpia relaatioita, unaarisia. Unaarisella relaatiolla tarkoitetaan jotakin alkioiden joukkoa. Joukko {2, 3} voi esittää jotakin relaatiota. Esimerkiksi relaatiota ”olla viittä pienempi alkuluku” tai ”olla luvun kuusi epätriviaali tekijä”, riippuen tulkinnasta.

Tarkkaavaisemmat lukijat huomasivat, että toinen relaatio on määritelty hieman oudosti. Sen mukaan relaation pitäisi sisältää luvun kuusi epätriviaalit tekijät, ja tulosjoukossa on luvut 2 ja 3. Eikö joitakin puutu? Luvut 1 ja 6 ovat triviaalit tekijät, ne eivät tässä kiinnosta. Mutta mukana pitäisi olla myös negatiiviset luvut, siis −2 ja −3. Kaikkien luvun 6 epätriviaalien tekijöiden joukko näyttää tältä: {−3, −2, 2, 3}.

Samaan tapaan kuin funktioille määritellään määrittelyjoukko, relaatiolle määritellään perusjoukko – joukko, josta relaation alkiot valitaan. Edellisissä esimerkeissä määriteltiin esimerkiksi perhe, jossa oli isoisä Eino jne. Isiä ja lapsia ei valittu kaikista maailman perheistä. Jos perusjoukoksi määritellään positiivisten kokonaislukujen joukko, relaatio on kunnossa.

Nyt voidaan jo ryhtyä relaation määritelmään. Jos perusjoukkona ovat positiiviset kokonaisluvut, mitä alkioita unaarinen relaatio voi sisältää? Taas vain positiivisia kokonaislukuja. Joko kaikki tai vain jonkin osan. Voidaan siis sanoa, että relaatio on positiivisten kokonaislukujen joukon osajoukko. Yleisemmin, jos R on unaarinen relaatio ja M perusjoukko, niin pätee R ⊆ M, eli relaatio R on joukon M osajoukko.

Binäärisen relaation määritelmä

Miltä tämä näyttää binäärisessä relaatiossa? Binäärisessä relaatiossa relaation R alkiot ovat järjestettyjä pareja. Parin kumpikin alkio voi olla eri joukosta. Voi olla relaatio ”vanhempi – lasten lukumäärä”. Vanhempi valitaan ihmisten joukosta, vaikkapa Euroopassa, ja lasten lukumäärä valitaan luonnollisten lukujen joukosta.

Miten kahdesta joukosta saadaan kaikkien mahdollisten parien joukko? Karteesisella tulolla. Jos joukot ovat A = {a, b, c}, B = {1, 2}, karteesinen tulo on:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Se on kaikkien niiden parien joukko, jotka voidaan muodostaa niin, että ensimmäisellä paikalla on joukon A alkio ja toisella paikalla joukon B alkio. Jos siis joukkojen A ja B välillä on binäärinen relaatio R, tämä relaatio voidaan määritellä muodossa R ⊆ A × B.

Jos pidetään edelliset joukot A ja B ja määritellään niiden välille relaatio R näin: ”kirjain – kirjaimen järjestys aakkosissa”, relaatio näyttää tältä: R = {(a, 1), (b, 2)}. Kirjain c ei ole mukana, koska karteesisessa tulossa A × B ei ole paria (c, 3).

n-paikkaisen relaation määritelmä

Lopuksi määritellään yleinen n-paikkainen relaatio R joukkojen M₁, M₂, …, M_n välillä:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Relaatio on siis järjestettyjen n-monikkojen osajoukko. Esimerkki binäärisestä relaatiosta on relaatio ”pienempi kuin” eli <. Sen voi määritellä joidenkin lukujoukkojen välille, esimerkiksi positiivisten kokonaislukujen välille. Silloin relaatio näyttää tältä:

$$<\subseteq {\mathbb{Z}}^{+}\times {\mathbb{Z}}^{+}$$

(Älä säikähdä sitä, että merkki < on niin oudosti vasemmalla puolella. Se on vain relaation nimi. Siinä voisi taas olla R, jolloin R edustaisi relaatiota pienempi kuin.)

Konkreettisesti relaatio näyttäisi tältä:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Se on sellaisten järjestettyjen parien joukko, joissa ensimmäisellä paikalla oleva positiivinen kokonaisluku on pienempi kuin toisella paikalla oleva.

Relaatioiden merkintä

Relaatioille annetaan yleensä nimeksi isot kirjaimet R, S jne. tai vakiintuneet symbolit: <, ⊆, = jne. Aiemmista määritelmistä nähdään, että relaatio on oikeastaan joukko. Onhan matematiikassa oikeastaan lähes kaikki joukkoja :-). Siksi, jos halutaan sanoa, että alkio r kuuluu relaatioon R, se voidaan kirjoittaa r ∈ R.

Voidaan esimerkiksi kirjoittaa (1, 3) ∈ <, ja se tarkoittaa, että lukupari yksi ja kolme kuuluu relaatioon pienempi kuin. Binäärisille relaatioille käytetään usein mukavampaa merkintää, joka on tuttu jo alakoulusta. Sen sijaan, että käytettäisiin kuulumisoperaattoria ∈, kirjoitetaan yksinkertaisesti 1 < 3. Samoin ei yleensä kirjoiteta (5, 5) ∈ =, vaan kirjoitetaan 5 = 5.