Matriisin aste

Matriisin aste on luku, joka kertoo matriisin riippumattomien rivien tai sarakkeiden lukumäärän.

Määritelmä

Matriisin aste on matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien/sarakkeiden suurin lukumäärä. Nollamatriisin aste on nolla, jokaisen muun matriisin aste on vähintään yksi. Tyyppiä m × n olevan matriisin aste voi olla enintään min(m, n). Jos matriisissa on siis vähemmän rivejä kuin sarakkeita, matriisin aste on enintään rivien määrä. Samoin sarakkeille.

Matriisin astetta merkitään yleensä englannin sanalla ”rank”. Kirjoitetaan silloin rank(A) = x.

Miten aste lasketaan

Sitten siihen, miten matriisin aste lasketaan. Se on melko yksinkertaista. Matriisi täytyy muuntaa sellaiseen muotoon, josta jo selvästi näkyy, mitkä rivit ovat lineaarisesti riippumattomia. Useimmiten se tehdään muuntamalla matriisi porrasmuotoon (diagonaalin alapuolella pelkkiä nollia), ja sitten jo nähdään, miten matriisin laita on. Katsotaan heti esimerkki – annettuna on tämä matriisi:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Ja sen aste pitää selvittää. Nyt täytyy huomata yksi pieni seikka. Jos on kaksi riviä, jotka ovat täynnä nollasta eroavia lukuja, ne voivat teoriassa olla lineaarisesti riippuvia. Se pitäisi laskea. Mutta jos toisessa näistä riveistä on jollakin paikalla nolla, kun taas toisessa rivissä samalla paikalla ei ole nollaa, voidaan varmasti väittää, etteivät ne ole riippuvia. Ei nimittäin löydy lukua, jolla voitaisiin kertoa tuo nolla (ja siis koko rivi) niin, että siihen saataisiin sama luku kuin toisessa rivissä. Siksi matriisit pyritään aina muuntamaan porrasmuotoon, jotta nuo nollat saadaan sinne.

Edellinen kappale voidaan kirjoittaa näin. Jos α₁, α₂ ≠ 0, niin:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Siksi matriisi pyritään saamaan samankaltaiseen muotoon, jotta riippuvuudet nähdään helposti. Katso esimerkki:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Tämä on porrasmuotoinen matriisi, mikään rivi ei ole lineaarisesti riippuva. Kolmatta riviä ei voi esittää kahden ensimmäisen rivin avulla, sillä jos alfa-kertoimet ovat nollasta eroavia, ensimmäisille paikoille jää aina jokin nollasta eroava luku.

Menettely on yleensä seuraava: ensin saadaan nollat ensimmäiseen sarakkeeseen (ensimmäistä riviä lukuun ottamatta). Sitten muunnetaan matriisia edelleen niin, että saadaan nollat toiseen sarakkeeseen, sitten kolmanteen jne. jne. jne. kunnes lopulta on porrasmuoto. Lasketaan nollasta poikkeavat rivit, ja kas, matriisin aste on selvillä. Näitä operaatioita voidaan käyttää muuttamatta matriisin astetta:

• Vaihdetaan mitkä tahansa kaksi riviä keskenään.
• Kerrotaan rivi millä tahansa nollasta eroavalla lausekkeella.
• Lisätään yksi rivi toiseen.
• Kaikkia edellisiä operaatioita voidaan käyttää myös sarakkeille.

Esimerkki

Edellisessä matriisissa muunnokset tehdään näin: Katsotaan, mikä on alkioiden a₁₁ ja a₂₁ suhde. Nähdään, että ne ovat samat, joten jotta paikalle a₂₁ saadaan nolla, täytyy lisätä ensimmäisen rivin −1-kertainen. Lisätään ensimmäisen rivin −1-kertainen toiseen riviin (eli vähennetään toisesta rivistä ensimmäinen):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Nyt on nolla siellä, missä se haluttiinkin. Nyt täytyy vielä saada nolla paikalle a₃₁. Siellä on taas ykkönen, joten vähennetään vain ensimmäinen rivi:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Nyt ensimmäisessä sarakkeessa on jo nollat, joten ryhdytään innolla toiseen sarakkeeseen. Nähdään, että luvut a₂₂ ja a₃₂ ovat toistensa vastaluvut, joten riittää laskea rivit yhteen:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Ja saatiin yksi nollarivi. Muunnokset ovat valmiit, päädyttiin porrasmuotoon. Nyt lasketaan enää nollasta poikkeavat rivit ja aste on selvillä. Saadaan rank A = 2. Tämän matriisin aste oli kaksi.

Toinen esimerkki

Yritetään nyt laskea hieman suuremman matriisin aste:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Matriisin aste on lineaarisesti riippumattomien rivien suurin lukumäärä, joten matriisin rivit saa sekoittaa mielensä mukaan. Tässä olisi esimerkiksi hyvä saada rivi, jonka alussa on ykkönen, aivan ylös, jotta laskeminen sujuu paremmin. Voidaan siis huoletta vaihtaa ensimmäisen ja toisen rivin paikkaa:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Nyt edetään samoin kuin edellisessä esimerkissä. Ensimmäisessä sarakkeessa täytyy olla pelkkiä nollia (tietysti ensimmäistä riviä lukuun ottamatta), joten toiseen riviin lisätään ensimmäisen rivin −7-kertainen, kolmanteen −4-kertainen ja viimeiseen −2-kertainen. Ensimmäinen rivi pysyy muuttumattomana:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Vaihdetaan taas rivien paikkaa, tällä kertaa viimeinen rivi pitäisi saada toisen rivin tilalle, koska toisella paikalla on kaksi. Vaihdetaan toinen ja neljäs rivi:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Mutta nähdään, että kakkosen alla ovat luvut −17 ja −19. Kumpikaan niistä ei ole jaollinen kahdella, mikä on hankalaa, jopa ikävää. Siksi kerrotaan nyt kolmas ja neljäs rivi kahdella:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Nyt voidaan jatkaa muunnoksia ja yrittää nollata toinen sarake. Kolmanteen riviin lisätään toisen rivin 17-kertainen ja neljänteen 19-kertainen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

No niin, nyt saatiin aika hankalat luvut jatkomuunnosta ajatellen, mutta jotenkin selvitään. Jaetaan kolmas rivi luvulla −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Ja nyt kerrotaan kolmas rivi luvulla 60 ja lisätään neljänteen riviin:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Tulokseksi tuli vähemmän kaunis mutta nollasta eroava luku. Matriisin aste on siis neljä, siinä ei ole yhtään lineaarisesti riippuvaa riviä.

Esimerkki parametrilla

Mikä on matriisin A aste parametrin q funktiona?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Tämä on hieman monimutkaisempi tehtävä, koska siinä on parametri q. Täytyy selvittää, millä q:n arvoilla matriisin aste on maksimaalinen, jos millään, ja millä se on pienempi. Edetään tavalliseen tapaan, vain silloin tällöin konkreettisten arvojen sijasta lasketaan abstraktilla luvulla q. Ensimmäisessä vaiheessa siirretään parametri q jollekin mukavammalle paikalle, nimenomaan aivan oikealle alas. Vaihdetaan siis toinen rivi kolmanteen ja sen jälkeen ensimmäinen sarake viimeiseen:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Nyt parametri saatiin sopivalle paikalle, jossa se ei haittaa kovin paljon. Ensimmäisessä sarakkeessa on kuitenkin melko hankalat luvut, mutta aivan keskellä on ykkönen: siirretään se vasemmalle ylös, eli vaihdetaan ensimmäinen ja toinen rivi sekä ensimmäinen ja toinen sarake:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Nyt siitä tuli kaunis matriisi. Kerrotaan ensimmäinen rivi luvulla −8 ja lisätään toiseen riviin:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Kerrotaan ensimmäinen rivi luvulla −5 ja lisätään kolmanteen riviin:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Hyvä, ensimmäinen sarake on tarpeen mukainen. Lisätään nyt toisen rivin −1-kertainen kolmanteen riviin:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Ja matriisin muunnokset ovat valmiit. Nähdään, että ensimmäinen ja toinen rivi ovat varmasti lineaarisesti riippumattomia. Kolmas rivi voi kuitenkin olla lineaarisesti riippuva. Rivi on lineaarisesti riippuva, jos se on kokonaan nolla, eli jos parametri q valitaan niin, että lauseke q + 11 on nolla. On selvää, että jos q = −11, rivi on nolla ja rivi on siis lineaarisesti riippuva.

Lopullinen tuomio siis: kun q = −11, matriisin aste on kaksi, muuten sen aste on kolme.